Гравитация дискретной массы

[mihail2102]

Пусть имеется монотонная на отрезке $[a,b]$ функция $F(x)$ , и надо найти:$H=\sum_{i=1}^{n}F(x_{i})$ где:$x_{i}\in{[a,b]}$
Пусть $x_{i}$ равноудалены $h=x_{i}-x_{i-1}$, $\forall{i}$
Тогда

$$H=\sum_{i-1}^{n}F(x_{i})\approx\frac{1}{h}\int_{a}^{b}F(x)dx=\frac{n}{b-a}\int_{a}^{b}F(x)dx$$

Эта процедура для функции одной переменной, может быть применена для функции трех переменных.
Пространство отдельного куба и отдельного шара заполнено одинаковым количеством (число $n$) материальных точек равной массы.Длина полуребра куба ($R$) равна радиусу шара. Система координат: начало в центре масс куба(шара),оси координат ортогональны граням куба. Напряженность гравиполя куба находим вдоль оси ОХ на расстоянии $R_{0}$ от центра масс куба или шара.
Для дискретного распределения массы в кубе, то есть от материальных точек в пространстве куба, напряженность гравиполя куба находим из выражения:

$$H_{k}=\sum_{i=1}^{n}\frac{(R_{0}-x_{i})\rho_{k}G}{((R_{0}-x_{i})^2+y_{i}^2+z_{i}^2)^\frac{3}{2}}\approx\frac{G\rho_{k}} {dV_{k}}\int_{-R}^{+R}\int_{-R}^{+R}\int_{-R}^{+R}\frac{(R_{0}-x)dxdydz}{((R_{0}-x)^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}$$

$$ dV_{k}=\frac{8R^3}{n}$$

G-гравитационная постоянная. $\rho_{k}$- плотность куба
То же самое для шара с дискретным распределением массы, напряженность поля находим из выражения:

$$H_{0}=\sum_{i=1}^{n}\frac{(R_{0}-x_{i})\rho_{0}G}{((R_{0}-x_{i})^2+y_{i}^2+x_{i}^2)^\frac{3}{2}}\approx\frac{G\rho_{0}} {dV_{0}}\int\int_{V_{0}}^{}\int\frac{(R_{0}-x)dxdydz}{((R_{0}-x)^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}$$

где: $V_{0}$ -объем шара, $\rho_{0}$ - плотность шара
$dV_{0}=\frac{4\pi R^3}{3n}$
Допустим, что для НЕПРЕРЫВНОЙ плотности вещества куба и шара равной массы и размеров, отношение напряженностей их полей на бесконечности, равно 1(единица):

$$\frac{H_{k}}{H_{0}}=\frac{G\rho_{k}\int\int_{V_{k}}^{}\int\frac{(R_{0}-x)dxdydz}{((R_{0}-x)^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}}{G\rho_{0}\int\int_{V_{0}}^{}\int\frac{(R_{0}-x)dxdydz}{((R_{0}-x)^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}}=1$$

Следовательно, для ДИСКРЕТНОГО распределения массы, отношение напряженностей полей на бесконечности будет равно:

$$\frac{H_{k}}{H_{0}}=\frac{dV_{0}}{dV_{k}}=\frac{4\pi R^3n}{\cdot8R^3n}=\frac{4\cdot3.14}{24}\approx0.523$$

Другими словами, реальное гравитационное поле дискретной структуры, будет МЕНЬШЕ поля рассчитанного по закону Ньютона с использованием интегрального исчисления. Но эта существенная разница была бы обнаружена экспериментально.
Таким образом, предположение о том, что отношение поля куба к полю шара, одинаковой массы и размеров, равное 1(единица), для непрерывной плотности массы, на бесконечности, представляется НЕСОСТОЯТЕЛЬНЫМ.
Представляется, и этому предположению есть аналитическое подтверждение, что для непрерывных плотностей(непрерывная функция плотности) отношение поля куба к полю шара одинаковой массы м размеров, на бесконечности, равно не 1 (единица), а приблизительно 2(два). Тогда отношение поля куба к полю шара с массой дискретной структуры на бесконечности будет равно 1.046.
То есть реальное гравиполе тела дискретной структуры будет БОЛЬШЕ поля рассчитанного по закону Ньютона с использованием интегрального исчисления.Но при современных средствах измерения и эта разность, хотя и существенно меньшая была бы обнаружена.
Так в чем же дело?
Дело в том, что величина поля куба достаточно неравномерная на разных направлениях. На линии соединяющей центр масс и проходящей через центр грани, поле максимально. На других направлениях поле меньше. (об этом говорит предварительное аналитическое и численное исследование поля куба на продолжении линии главной диагонали куба). Таким образом на небольших расстояниях от тела, увеличенное поле интегральных кубиков находящихся ближе к линии соединяющей центр масс тела и контрольную точку, компенсирует недостаток поля интегральных кубиков находящихся дальше от этой линии. А в сумме общее поле ПОЧТИ равно полю рассчитанному по Ньютону и находится за пределами обнаружения разности приборами. НО на БОЛЬШИХ расстояниях контрольной точки от тела, компенсация не получается, так как проекции поля каждого интегрального кубика тела на линию до контрольной точки максимальна из-за удаленности контрольной точки. В результате общее поле тела в контрольной точке, на больших расстояниях будет БОЛЬШЕ поля рассчитанного по Ньютону. Совершенно понятно, что величина 1.046 ориентировочная, переменная и должна зависеть от дискретности массы и соотношения размеров тела и расстояний до контрольной точки.
Изложенное устанавливает несостоятельность утверждения, что куб и шар одинаковых размеров и массы, на бесконечности эквивалентны по величине поля и обозначает зависимость поля тела от его структуры.
Прошу высказывать мнения.

[sergey zhukov]

mihail2102
Считайте достоверным, что на расстоянии, много большем размеров тела, гравитационное поле любого тела есть поле массивной точки, т.е. не зависит от формы и размеров тела. Это достоверно, тут совершенно нечего обсуждать. Исходя из этого, ищите ошибки в своих рассуждениях.

[Евгений Машеров]

mihail2102 в сообщении #1530521 писал(а):

Следовательно, для ДИСКРЕТНОГО распределения массы, отношение напряженностей полей на бесконечности будет равно:

Не следует. Поскольку

mihail2102 в сообщении #1530521 писал(а):

Пространство отдельного куба и отдельного шара заполнено одинаковым количеством (число $n$) материальных точек равной массы.

Ваш софизм основан на том, что в какой-то момент Вы вместо равной массы начинаете постулировать равную плотность при разном объёме. И только.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: к предыдущей теме аналогичного содержания.

-- 03.09.2021, 22:05 --

mihail2102, предупреждение за возобновление темы из Пургатория.