Alexey Rodionov, Вы создали тему очень "в тему")) Плюс один заинтересованный читатель у Вас есть.
будем считать равными одинаково направленные отрезки равной длины? Они не равны, но мы будем считать.
Ну тут же легко. Вектор в евклидовой геометрии - это не стрелка, а класс эквивалентности стрелок. И это очень правильно. Мне даже больше кажется: сила векторного аппарата в евклидовой геометрии во многом обязана тому, что вектора не привязаны к своим начальным точкам. Это создает большое удобство.
Но про вектора - это так, мелочи. Мне тема интересна про алгебру в глобальном смысле. Я пытался размышлять по поводу того, почему алгебра настолько крутая и выделил 2 основных момента:
1. Аксиоматический метод. Это здорово само по себе и относится ко всей математике целиком. Я историю больно не знаю, но вроде бы именно благодаря аксиоматическому методу произошел рывок в математике в 19-20 веках. Вместо того, чтобы рассматривать конкретные структуры и всякий раз делать с ними формально разные, но идейно одинаковые вещи, лучше просто эти идейные вещи проделать 1 раз "в общем виде" и выстроить вокруг них отдельную теорию, которую можно потом применять к куче конкретных вещей.
Но про аксиоматический метод остаются вопросы. Почему именно те аксиомы, которые мы выделили, настолько хороши? Наверное, это происходило практически. Большое количество математиков нескольких поколений нащупывали самое правильное строение теории и по итогу получилось то, что получилось. Но это плохой ответ. Нужно сформулировать основные принципы, следуя которым можно выбирать наиболее правильные системы аксиом. Чтобы это было не из практики, а из теории. И здесь я плавно подхожу ко второму пункту.
2. Аксиоматические конструкции должны взаимно обогащать друг друга. Мы развили сколько-то линейную алгебру и применили ее к многочленам. Результаты из теории многочленом можно обратно применять к линейной алгебре. Мы понимаем, что линейный оператор - это гомоморфизм двух векторных пространств, поэтому часть аппарата теории групп можно дать линейной алгебре. А потом применить линейную алгебру к группам и получить теорию представлений. И так далее. Это и есть критерий "правильности" аксиоматических конструкций на мой взгляд. Чем больше они взаимно обогащают друг друга, тем лучше. В конце концов, не в этом ли и заключается основная цель математики - наиболее компактно упаковывать длинные цепочки рассуждений? А чем лучше аксиоматические объекты применяются друг к другу, тем плотнее упаковка математических знаний.
