2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение01.09.2021, 19:03 


07/05/13
152
Понятно, что алгебра изучает буковки, а геометрия кружочки и треугольнички.
А как их формально различить?

БСЭ говорит:
под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Как это мы сложение обобщаем? Определяем операцию на множестве и с уважением называем сложением. Где здесь обобщение?

Математическая энциклопедия уверяет:
Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Вообще, караул. Что такое пространственные структуры?

А дети интересуются. Пока отвечаю уклончиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение01.09.2021, 21:51 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Что именно лично вы понимаете под "А как их формально различить?" известно только вам.

Более вразумительных вопросов я вижу два:

1. "Определяем операцию на множестве и с уважением называем сложением. Где здесь обобщение?"
Вы в самом деле не в курсе, что в алгебре кроме сложения и умножения, известных из арифметики, есть и другие операции? Или знаете это, а просто троллите? В обоих случаях не вижу смысла на такое отвечать.

2. "Вообще, караул. Что такое пространственные структуры?"
Если человек перед вопросом добавляет "вообще, караул", то на такое тоже нет смысла отвечать. Имярек уже подготовился к позиции троллить любой из ответов.

В общем, если бы был более серьезный, и главное честный, вопрос, то мог бы быть предмет для обсуждения. И можно было бы, например, обсудить "дискретное" и "непрерывное". А еще что "алгебра" и "геометрия" это некие собирательные понятия, которые более понятно проявляются на более конкретных примерах, таких как группы, кольца, линейные пространства и т.д. А также что эти понятия очень связаны друг с другом и являются разными способами посмотреть на некие объекты. И даже что некоторые математики (мне кажется я встречал это у Манина, но не уверен) сравнивают алгебру со словами или даже с нотами, а геометрию с музыкой. И еще очень многое.

Но в данном случая ИМХО предмета для обсуждения нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение01.09.2021, 22:01 


18/05/15
464
Alexey Rodionov в сообщении #1530267 писал(а):
А дети интересуются. Пока отвечаю уклончиво.

Детям, мне кажется, лучше объяснять на примерах. Наверняка можно что-нибудь интересное придумать, если включить фантазию. Алгебра - арабское слово. Геометрия - греческое. Гео - земля, метрия - понятно что.. А вообще, различие условное.Гельфанд понял это в возрасте 10 лет))

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение01.09.2021, 22:07 
Аватара пользователя


16/03/17
475

(Оффтоп)

ihq.pl
Я думаю, что ТС говорит о студентах. Но невразумительности вопроса это не отменяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение01.09.2021, 23:26 


07/05/13
152
ihq.pl в сообщении #1530282 писал(а):
Гельфанд понял это в возрасте 10 лет))

Что-нибудь сказал по этому поводу? Что именно?

-- 02.09.2021, 00:36 --

ihq.pl в сообщении #1530282 писал(а):
Детям, мне кажется, лучше объяснять на примерах. Наверняка можно что-нибудь интересное придумать, если включить фантазию.

Можно придумать. Дело не хитрое. Но хотелось бы знать, как эти два слова до ковидного материализма дожили. Боле того. Вот в программе курса написано: геометрическая интерпретация ... линейной алгебры. По мне, так это аффинная и проективная геометрии, а по мнению многих коллег это манипуляции со стрелочками. А вот это как вам нравится: будем считать равными одинаково направленные отрезки равной длины? Они не равны, но мы будем считать. Так и женщину к мужчине приравнять не долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 00:19 


18/05/15
464
Alexey Rodionov в сообщении #1530292 писал(а):
ihq.pl в сообщении #1530282 писал(а):
Гельфанд понял это в возрасте 10 лет))

Что-нибудь сказал по этому поводу? Что именно?

Да, где-то это прозвучало. Это сам Гельфанд рассказывал, но я, кажется, у Тихомирова В.М. в его воспоминаниях прочитал. Юный Гельфанд попал в больницу с воспалением легких. Вот, изучая там по книге математику, он вдруг ясно понял, что между алгеброй и геометрией нет никакой разницы... Насчет векторов - ну да, абстрактный объект. Вполне могу допустить трудность в понимании. В принципе, я бы сказал, что геометрия оперирует умозрительными моделями. Ну, или более умозрительными, чем алгебра)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 01:03 


07/05/13
152
ihq.pl в сообщении #1530295 писал(а):
В принципе, я бы сказал, что геометрия оперирует умозрительными моделями.

Я бы не рискнул. На всякий случай даже в словаре "умозрительный" посмотрел.
Студенты-то разницей заинтересовались, когда о "геометрическом смысле" задумались. Вот еще то выражение. Геометрический смысл чего-то к геометрии относится вовсе не прямо. Похоже, геометрический смысл появляется вместе с возможностью соотнести сказанное словами с примитивным рисунком на бумаге. За геометрию обидно. За Фоменко радостно. Поднял геометрический смысл на ранее не достижимую высоту. Наверное, это уже не геометрический, а живописный смысл ? Если разогнать фантазию, можно поискать музыкальный и кулинарный смыслы. Прямо сейчас поискал и вот: https://www.researchgate.net/publicatio ... y_binomium
Опять я опоздал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 01:28 


22/10/20
617
Alexey Rodionov, Вы создали тему очень "в тему")) Плюс один заинтересованный читатель у Вас есть.
Alexey Rodionov в сообщении #1530292 писал(а):
будем считать равными одинаково направленные отрезки равной длины? Они не равны, но мы будем считать.
Ну тут же легко. Вектор в евклидовой геометрии - это не стрелка, а класс эквивалентности стрелок. И это очень правильно. Мне даже больше кажется: сила векторного аппарата в евклидовой геометрии во многом обязана тому, что вектора не привязаны к своим начальным точкам. Это создает большое удобство.

Но про вектора - это так, мелочи. Мне тема интересна про алгебру в глобальном смысле. Я пытался размышлять по поводу того, почему алгебра настолько крутая и выделил 2 основных момента:

1. Аксиоматический метод. Это здорово само по себе и относится ко всей математике целиком. Я историю больно не знаю, но вроде бы именно благодаря аксиоматическому методу произошел рывок в математике в 19-20 веках. Вместо того, чтобы рассматривать конкретные структуры и всякий раз делать с ними формально разные, но идейно одинаковые вещи, лучше просто эти идейные вещи проделать 1 раз "в общем виде" и выстроить вокруг них отдельную теорию, которую можно потом применять к куче конкретных вещей.

Но про аксиоматический метод остаются вопросы. Почему именно те аксиомы, которые мы выделили, настолько хороши? Наверное, это происходило практически. Большое количество математиков нескольких поколений нащупывали самое правильное строение теории и по итогу получилось то, что получилось. Но это плохой ответ. Нужно сформулировать основные принципы, следуя которым можно выбирать наиболее правильные системы аксиом. Чтобы это было не из практики, а из теории. И здесь я плавно подхожу ко второму пункту.


2. Аксиоматические конструкции должны взаимно обогащать друг друга. Мы развили сколько-то линейную алгебру и применили ее к многочленам. Результаты из теории многочленом можно обратно применять к линейной алгебре. Мы понимаем, что линейный оператор - это гомоморфизм двух векторных пространств, поэтому часть аппарата теории групп можно дать линейной алгебре. А потом применить линейную алгебру к группам и получить теорию представлений. И так далее. Это и есть критерий "правильности" аксиоматических конструкций на мой взгляд. Чем больше они взаимно обогащают друг друга, тем лучше. В конце концов, не в этом ли и заключается основная цель математики - наиболее компактно упаковывать длинные цепочки рассуждений? А чем лучше аксиоматические объекты применяются друг к другу, тем плотнее упаковка математических знаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 07:59 


18/05/15
464
Alexey Rodionov в сообщении #1530297 писал(а):
ihq.pl в сообщении #1530295 писал(а):
В принципе, я бы сказал, что геометрия оперирует умозрительными моделями.

Я бы не рискнул. На всякий случай даже в словаре "умозрительный" посмотрел.

Хорошо, не умозрительные, а модели, которые можно нарисовать в уме. Не только на бумаге. С "геометрическим смыслом" трудностей вроде не должно возникать, если сильно не углубляться в философию. Достаточно привести несколько примеров, опять же) Например, геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Или геометрический смысл комплексного числа. Еще лучше, по-моему, сказать "геометрическая интерпретация", как одна из возможных)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 13:37 


18/05/15
464
По-хорошему, было бы неплохо спросить у самого Гельфанда, что он имел в виду. Не исключено, что это нечто из области детских откровений или озарений. Да и контекст, в котором это было сказано, остался за кадром. Если бы между алгеброй и геометрией не было никакой разницы, то на алгебру и геометрию математика делилась, наверное, только в средней школе. Скорее всего, разные объекты изучения. Берем оглавление "Современной Геометрии": Г л а в а 1. Геометрия в области пространства. Уже бескрайнее море для фантазий)) Разные типы пространств, и у каждого своя геометрия. Думаю, так и надо понимать это слово. Геометрия формы, геометрия пространства, поверхности...

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 13:57 


07/05/13
152
ihq.pl в сообщении #1530312 писал(а):
модели, которые можно нарисовать в уме.

Дык и я о том же толкую. Комикс.

-- 02.09.2021, 15:11 --

EminentVictorians в сообщении #1530300 писал(а):
Ну тут же легко. Вектор в евклидовой геометрии - это не стрелка, а класс эквивалентности стрелок. И это очень правильно.

Несомненно. Аффинная геометрия именно такая. Но в книжках пишут так как я себе позволил. Наверное, чтобы студентам понятнее было.
"Лучкин указывал на разные предметы и называл их, причем, при малейшей возможности исковеркать слово, коверкал его, говоря вместо рубаха — "рубах", вместо мачта — "мачт", уверенный, что при таком изменении слов они более похожи на иностранные и легче могут быть усвоены Максимкой."

Вообще-то, я однажды прямо здесь спросил, есть ли толковая книжка, в которой свободные векторы определяются именно как классы эквивалентности в векторном пространстве и молчание было мне ответом. Лишь один написал, что это и не надо и доказал, что аффинная геометрия изоморфна пространству переносов.
Так что если знаете такую книжку, дайте ссылочку, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение02.09.2021, 14:27 


22/10/20
617
Alexey Rodionov в сообщении #1530348 писал(а):
Так что если знаете такую книжку, дайте ссылочку, пожалуйста.

Тартышников Матричный анализ и линейная алгебра, лекция 9.
Ильин Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия (глава 3)
100% видел где-то еще, если вспомню - напишу.

-- 02.09.2021, 15:04 --

Мне еще вот что интересно. В основном в алгебре изучаются не так уж и много свойств операций. Основные: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Но почему именно эти? Вариантов ведь наверняка очень много. Из употребимых, например антикоммутативность и тождество Якоби. А напридумывать естественно выглядящие свойства можно пачками. Интересно, есть ли какие-нибудь теоремы, утверждающие о том, что любые мыслимые записываемые в строчку свойства бинарных операций сводятся (в каком нибудь смысле) к простейшим свойствам, перечисленным среди основных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение04.09.2021, 00:06 


07/05/13
152
Спасибо. Непременно поищу эти книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение04.09.2021, 13:19 


07/05/13
152
ihq.pl в сообщении #1530345 писал(а):
По-хорошему, было бы неплохо спросить у самого Гельфанда, что он имел в виду.

Книжку Ильин Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия порекомендовал EminentVictorians. Я уже предисловие осилил. Понравилось. Особенно вот это: По существу, линейная алгебра и аналитическая геометрия настолько
связаны, что между ними трудно провести четкую грань, “во многих случаях они отличаются друг от друга лишь языком: каждую из этих
дисциплин можно понимать как перевод другой” (Ж. Дьедонне).

Осталось только стереть два слова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем алгебра отличается от геометрии?
Сообщение04.09.2021, 15:22 


18/05/15
464
Alexey Rodionov в сообщении #1530584 писал(а):
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

А, ну в этом случае, конечно, различие пожалуй только в терминологии) Можно, наверное, сказать, что аналитическая геометрия - это плоский случай геометрии вообще :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group