Подгруппа группы Галуа нормальна?

[sour]

Привет. Есть цепочка расширений Галуа $K \subseteq L \subseteq M$. Берем произвольные автоморфизмы $g \in G=Gal(M, K),\ h \in H=Gal(M, L)$ и произвольный элемент $\alpha \in M$.
Очевидно, что если $g(\alpha) \in L$, то $(ghg^{-1})(\alpha) \in M$, а значит $ghg^{-1} \in H$. Но как доказать, что в любом ином случае тоже $(ghg^{-1})(\alpha) \in H$?

[sour]

Я придумал другую формулировку для задачи. Как доказать, что $\sigma(L)=L$ для любого $\sigma \in Aut_K M$?

[vpb]

Думаю, достаточно просто в деталях вспомнить, что такое "расширение Галуа". Если после этого не будет понятно, как решать --- приведите здесь это определение.

[sour]

vpb
Для полей характеристики ноль(другие меня сейчас не интересуют) это просто нормальное расширение, т.е. если в расширении лежит какой-то корень какого-то неприводимого многочлена, то и остальные корни тоже в нем лежат.
Не понимаю, как из этого следует мое утверждение.

[sour]

vpb
Я понял.

$\sigma(\lambda)$ сопряжено c $\lambda$, а значит если $\lambda \in L$, то и $\sigma(\lambda) \in L$ в силу нормальности $L$.

[vpb]

sour в сообщении #1529840 писал(а):

Я понял.

Ну и слава богу.