Вот так например.
При

очевидно.
Пусть

, тогда домножим выражение на 3 и запишем:

Выделим множители:

Так как каждое число не меньше 1, оба выражения в скобках не меньше 1, и их произведение тоже, и утверждение доказано.
Теперь воспользуемся индукцией: пусть доказано для всех

, убедимся, что неравенство верно и для

.
Выделим одно значение из них,

, сумму остальных обозначим

, произведение -

. Так как индукция верна для

числа, то

Мы хотим доказать, что верно неравенство :

Оно выполнится, если выполнится


Домножим обе части на

и перенесем некоторые слагаемые влево:

иначе:

Домножаем на

:
![$$[x(k+1)-k][2(S+1)(k+1)-k(k+1)-2k]\ge 2k(k+1)-k(k+1)^2-k[(2-k)(k+1)-2k]=k^2-k$$ $$[x(k+1)-k][2(S+1)(k+1)-k(k+1)-2k]\ge 2k(k+1)-k(k+1)^2-k[(2-k)(k+1)-2k]=k^2-k$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/0/fe0d78b8feb9a9455f497b2531d10cca82.png)
Но, поскольку

, в левой части видим:


Поэтому

, то есть неравенство

верно, следовательно, утверждение задачи доказано.