Пусть есть множества
индексированные множеством
(т.е.
).
Если
бесконечное, то у Вас такого семейства нет.
Давайте посмотрим внимательнее. Пусть у нас есть некоторая формализованная теория
(пусть это будет теория множеств ZF без аксиомы выбора, поскольку мы рассуждаем о множествах).
Допустим, у нас есть некоторое бесконечномерное линейное пространство
.
Сначала у нас пустое множество векторов, и его линейная оболочка
содержит только нулевой вектор.
Далее, поскольку L бесконечномерно, то базиса пока нет, и мы выбираем некоторый вектор
и строим линейную оболочку
множества
. Система векторов
линейно независима.
Далее, поскольку L бесконечномерно, то базиса пока нет, и мы выбираем некоторый вектор
и строим линейную оболочку
множества
. Система векторов
линейно независима.
…
…
…
Наконец, поскольку L бесконечномерно, то базиса после построения
нет, и мы выбираем некоторый вектор
и строим линейную оболочку
множества
.Система векторов
линейно независима.
Формализовать в ZF это рассуждение с многоточиями нельзя, его надо добросовестно выписать полностью, ничего не пропуская и не заменяя повторяющиеся рассуждения многоточиями. В результате получится доказательство существования
линейно независимых векторов для конкретного натурального числа
.
Далее Вы ссылаетесь на то, что это рассуждение можно проделать для любого натурального
(позаботившись при этом, чтобы эти множества линейно независимых векторов образовывали растущую цепочку множеств), и поэтому у Вас якобы есть бесконечная цепочка множеств. Однако формулы и доказательства теории
не являются её объектами (теория ZF говорит о множествах, а не о формулах и не о доказательствах), и в её языке нет средств для формализации этого рассуждения. Они могут существовать в метатеории, но тогда мы получаем метатеорему, а не теорему ZF. Эта метатеорема плоха тем, что совокупность
, которую Вы хотите получить, может быть множеством в метатеории, но не быть множеством в ZF.