Теорема Кантора – Бернштейна

[Vladimir Pliassov]

Разобрал доказательство теоремы Кантора – Бернштейна в книге Н. К. Верещагина, А.Шеня
НАЧАЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf, стр. 20.

Как будто все понятно -- особенно с использованием рис.1 из https://matan.math.msu.su/media/uploads ... s-2011.pdf стр. 13 (фактически первая же страница файла),

за исключением одного момента:

Цитата:

Заметим, что пересечение всех множеств $A_i$ вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз. Теперь можно сказать так: множество $A_0$ мы разбили на непересекающиеся слои $C_i=A_i \setminus A_{i+1}$ и на сердцевину $C=\bigcap _i A_i$

и дальше:

Цитата:

Можно ещё отметить (что, впрочем, не понадобится), что функция $f$ на множестве $C$ осуществляет его перестановку (взаимно однозначное соответствие с самим собой).

Судя по рис.1 из https://matan.math.msu.su/media/uploads ... s-2011.pdf стр. 13,

сердцевина $C$ в этом случае состоит из единственной точки -- центра всех квадратов и кругов. Но, как я понимаю, должны быть другие примеры, в которых $C$ состоит не из единственной точки, какие это могут быть примеры?

[xagiwo]

Здесь есть очень простой пример.

Цитата:

Заметим, что пересечение всех множеств $A_i$ вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз

В каком простейшем случае у элемента можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз?

[Vladimir Pliassov]

xagiwo в сообщении #1528557 писал(а):

В каком простейшем случае у элемента можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз?

У элемента можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз, когда для этого элемента функция $f$ является тождественным отображением, в этом случае он сам является для себя своим прообразом?

На рис. 1 такими элементами являются, во-первых, центр всех квадратов и кругов, во-вторых, каждая точка произвольного сегмента произвольного круга. Правильно?

Но сердцевина множества $A_0$ это $C=\bigcap _i A_i$, так что из всех этих точек (на рис. 1) только центр может быть сердцевиной (потому что для любой другой точки найдется круг или квадрат, в который она не входит).

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1528609 писал(а):

На рис. 1 такими элементами являются, во-первых, центр всех квадратов и кругов, во-вторых, каждая точка произвольного сегмента произвольного круга. Правильно?

Нет, только центр квадрата. Если сопоставить док-во из Шеня и рисунок, чем будут множества $A_0, A_1, A_2$ и функция $f$?

Vladimir Pliassov в сообщении #1528609 писал(а):

У элемента можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз, когда для этого элемента функция $f$ является тождественным отображением, в этом случае он сам является для себя своим прообразом?

Ну и придумайте такую $f$, чтобы она переводила в себя не одну точку, а больше.

[Vladimir Pliassov]

1.

xagiwo в сообщении #1528613 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1528609 писал(а):

На рис. 1 такими элементами являются, во-первых, центр всех квадратов и кругов, во-вторых, каждая точка произвольного сегмента произвольного круга. Правильно?

Нет, только центр квадрата.

Да, это я спутал функцию $f$ с функцией $g$, которая задает биекцию между $A_0$ и $A_1$. (При функции $g$ каждая точка каждого сегмента каждого круга переходит сама в себя, но функция $g$ не берется от аргументов больше одного раза.)

xagiwo в сообщении #1528613 писал(а):

Если сопоставить док-во из Шеня и рисунок, чем будут множества $A_0, A_1, A_2$ и функция $f$?

Самый большой квадрат это $A_0,$ самый большой круг это $A_1,$ следующий по величине квадрат это $A_2$ и т. д..

$f$ это гомотетия с центром в центре квадрата и коэффициентом $1/\sqrt 2$.

Цитата:

Пусть $f$ — функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие $A_0 \to A_2$

(биекцию между первым и вторым квадратом)

Цитата:

(элемент $x \in A_0$ соответствует элементу$ f(x) \in A_2$). Когда $A_0$ переходит в $A_2$, меньшее множество $A_1$

(первый круг)

Цитата:

переходит в какое-то множество $A_3 \subset A_2$

(во второй круг)

Цитата:

(см. рис. 3). Аналогичным образом само $A_2$

(второй квадрат)

Цитата:

переходит в некоторое множество $A_4 \subset A_2$

(в третий квадрат).

Цитата:

При этом $A_4 \subset A_3$, так как $A_2 \subset A_1$

(в тексте ошибочно написано: "$A_1 \subset A_2$"),

и так далее.

2.

О функции $g$ (которая задает биекцию между $A_0$ и $A_1$).

Самые большие черные "уши" [обрезки самого большого квадрата, остающиеся вне самого большого круга (да и вне всех кругов)] -- все четыре вместе -- составляют слой $C_0$, следующие по величине "уши" -- слой $C_2$ и т. д..

Сегменты -- все четыре -- первого (по величине) круга, остающиеся после вычитания из него второго квадрата, составляют слой $C_1$, сегменты второго круга, остающиеся после вычитания из него третьего квадрата, составляют слой $C_3$ и т. д..

Функция $g$ состоит из двух функций: из функции $f$ от четных слоев и тождественной функции от нечетных слоев:

Цитата:

Теперь легко понять, как построить взаимно однозначное соответствие $g$ между $A_0$ и $A_1$. Пусть $x \in A_0$. Тогда соответствующий ему элемент $g(x)$ строится так: $g(x) = f(x)$ при $x \in $C_{2k} и $g(x) = x$ при $x \in C_{2k+1}$ или $x \in C$ (см. рис. 4).

https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf стр. 22

То есть при взятии $g\colon A_0\to A_1$ слой $C_0$ (первые "уши"), который является подмножеством $A_0$ (частью первого квадрата), переходит в слой $C_2$ (во вторые "уши") как в подмножество $A_1$ (как в часть первого круга), слой $C_2$ -- но как подмножество $A_0$ (как часть первого квадрата), -- переходит в слой $C_4$ (в третьи по величине "уши") как в подмножество $A_1$ (как в часть первого круга) и т. д..

Что же касается произвольной точки $x$ произвольного нечетного слоя $C_{2k+1}$, то она как точка множества $A_0$ (как точка первого квадрата) переходит в себя же как в точку множества $A_1$ (как в точку первого круга).

3.

xagiwo в сообщении #1528613 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1528609 писал(а):

У элемента можно сколько угодно раз брать $f$-прообраз, когда для этого элемента функция $f$ является тождественным отображением, в этом случае он сам является для себя своим прообразом?

Ну и придумайте такую $f$, чтобы она переводила в себя не одну точку, а больше.

В одномерном пространстве можно взять бесконечное число вложенных друг в друга отрезков, пересечением которых будет некоторый фиксированный отрезок. Такой путь?

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1528691 писал(а):

В одномерном пространстве можно взять бесконечное число вложенных друг в друга отрезков, пересечением которых будет некоторый фиксированный отрезок. Такой путь?

Зависит от того, получится ли у Вас из этой идеи получить подходящую $f$
Я намекал на случай $A_0=A_2$ и $f$ — тождественное преобразование. А в случае с квадратом и кругом можно придумать биекцию между большим квадратом и маленьким, которая какую-то отличную от точки фигуру оставляет на месте

[Vladimir Pliassov]

xagiwo в сообщении #1528721 писал(а):

Зависит от того, получится ли у Вас из этой идеи получить подходящую $f$

А почему не получится? Вложенные отрезки это и есть

Цитата:

$A_0\supset A_1\supset A_2\supset A_3\supset A_4\supset \ldots $

https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf стр. 21

Ограничить их отрезком $C=\bigcap _i A_i$. Правда, тогда не будет одной гомотетии с центром в центре всех $A_i$, но можно определить две гомотетии: справа и слева с центрами в крайних точках $C$ (эти гомотетии будут односторонними).

Можно взять не гомотетии, а, вообще, две любые односторонние ограниченные последовательности с пределами в этих точках, не включающие в себя эти пределы?

Но тут возникают вопросы.

1) в https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf стр. 22 сказано:

Цитата:

функция $f$ на множестве $C$ осуществляет его перестановку (взаимно однозначное соответствие с самим собой).

Наверное, имеется в виду не обязательно тождественная перестановка, а зачем делать не тождественную перестановку? Можно ведь определить тождественное отображение, как у нечетных слоев, (ну или тогда -- тождественную перестановку).

2) Если для вложенных отрезков можно определить две гомотетии, то что делать, когда пространство не одномерное, а двухмерное, относительно каких точек или относительно чего и что определять, чтобы границы множеств $A_i$ все ближе подходили к границе $C$ и не достигали ее? Тогда ведь должны быть не две предельные точки, а целая предельная замкнутая линия?

xagiwo в сообщении #1528721 писал(а):

Я намекал на случай $A_0=A_2$ и $f$ — тождественное преобразование.

Если $A_0=A_2$, то, как я понимаю, и $A_0=A_1=A_2$, и, вообще, $A_0=A_1=A_2=A_3=A_4=\ldots\, ?$ И еще $f$ — тождественное преобразование, так что получается какой-то малоинтересный случай. Или нет?

xagiwo в сообщении #1528721 писал(а):

А в случае с квадратом и кругом можно придумать биекцию между большим квадратом и маленьким, которая какую-то отличную от точки фигуру оставляет на месте

Под маленьким квадратом Вы имеете в виду второй по величине после самого большого? Тогда эта фигура должна быть тем самым $C$, о котором я говорил в п. 2)?