Странные комбинации?

[TR63]

Задача.

$f_5(a_i;\alpha)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+\alpha=0$, $a_i>0$-фиксированные, $\(\alpha>0\)$-параметр.

Значение параметра $\alpha$, при котором $f_5(a;\alpha)$ имеет противоположные действительные корни, обозначим $(TC)$. Тогда по теореме Орландо они ищутся как корни квадратного уравнения. Т.е. может существовать только два действительных $(TC)_{\{1;2\}}$.

$(TC)_{\{1;2\}}=-\{[0.5a_1a_2^2-a_1a_4-0.5a_2a_3]+[(-(\pm)a_1a_2+(\pm)a_3)\sqrt{0.25a_2^2-a_4}]\}$

Формула, возможно, не известна, но легко выводится и без теоремы Орландо. То, что она верна, можно проверить на примере или вывести самостоятельно. Например:

$x^5+x^4+20x^3+2x^2+36x+\alpha=0$, $(TC)_{\{1;2\}}=\{0;288\}$

Будем рассматривать параметр $\alpha$ для которого $(TC\neq0)$ (для простоты).

Расположение $(TC)$ на числовой прямой относительно нуля даёт три возможных комбинации:

1). $A_1=\{(TC)_1<0; (TC)_2<0\}$

2). $A_2=\{(TC)_1<0; (TC)_2>0\}$

3). $A_3=\{(TC)_1>0; (TC)_2>0\}$


$f_5(a_i;\beta)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+\beta=0$, $a_i>0$-фиксированные, $\(\beta>0\)$-фиксированное.

Для $f_5(a_i;\beta)$ возможны три комбинации наличия количества действительных корней:

1). $B_1=\{K(D)=1\}$

2). $B_2=\{K(D)=3\}$

3). $B_3=\{K(D)=5\}$

Вопрос: какие комбинации $A_i$ могут существовать для $\{B_1;B_2;B_3\}$?

(Интерес представляет только случай $B_3$ для $A_3$, т.к. остальные комбинации просты.)

Мой ответ:

(Оффтоп)

Для случаев $\{B_1;B_2;B_3\}$ возможными являются комбинации $\{(A_1^+,A_2^+,A_3^+);(A_1^+,A_2^+,A_3^+);(A_1^-,A_2^+,A_3^-)\}$, $(+)$-означает существование $A_i$.

[xagiwo]

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

Вопрос: какие комбинации $A_i$ могут существовать для $\{B_1;B_2;B_3\}$?

Не понял вопроса. Кол-во корней зависит от последнего коэфф-а, а $(TC)$ не зависит. Вы фиксируете $\beta$ и спрашиваете, каким будет $(TC)$? Ну, наверное, тем же самым, потому что он от $\beta$ не зависит.

[TR63]

В ЛС поступило верное замечание (была опечатка).

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

Тогда по теореме Орландо они ищутся как корни квадратного уравнения.

Поэтому делаю уточнение:

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

Тогда по теореме Орландо $(TC)$ ищутся как корни квадратного уравнения.

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

Например:

$x^5+x^4+20x^3+2x^2+36x+\alpha=0$, $(TC)_{\{1;2\}}=\{0;288\}$

Верно, что уравнение не имеет действительных противоположных корней. Но оно по приведённой формуле имеет противоположные корни. Т.е. формула по поиску $(TC)$, при которых имеются противоположные корни, верна. Нас будут интересовать только действительные $(TC)$ $(TC\neq0)$.

xagiwo в сообщении #1528559 писал(а):

спрашиваете, каким будет $(TC)$?

Нет. Я спрашиваю

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

какие комбинации $A_i$ могут существовать для $\{B_1;B_2;B_3\}$?

Поскольку

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

(Интерес представляет только случай $B_3$ для $A_3$, т.к. остальные комбинации просты.)

то поясняю, что требуется выяснить для этого случая.

Рассматривается класс многочленов $B_3$ с положительными коэффициентами, имеющими пять действительных корней $K(D)=5$.
Требуется выяснить, существует ли в этом классе многочлен с комбинацией $A_3$, т.е. с двумя положительными $(TC)$ (они могут быть и кратными; этот случай сложнее).

[xagiwo]

Что значит "многочлен с двумя положительными $(TC)$"? $(TC)$ это функция от $a_i$, оно у любого многочлена одно и те же, потому что Вы $a_i$ зафиксировали

-- 12.08.2021, 17:33 --

И ещё, откуда у Вашего многочлена взялись пары противоположных действительных корней (то есть хотя бы один положительный корень) если у него все коэфф-ы положительны?

[TR63]

xagiwo, берём два многочлена из класса $(B_i)$. Вычисляем их $(TC)_{\{1;2\}}$.

xagiwo в сообщении #1528577 писал(а):

они у любого многочлена одни и те же, потому что Вы $a_i$ зафиксировали

Это верно. Но комбинации $(A_i)$ у этих двух многочленов могут быть разные. Речь идёт не о $(TC)_{\{1;2\}}$, а об их расположении относительно нуля.
Например:

1). $x^5+5x^4+3x^3+x^2+2x+$(TC)_{\{1;2\}}$=0$, $(TC)_1=-4$, $(TC)_2=-18$
2). $x^5+x^4+3x^3+5x^2+2x+$(TC)_{\{1;2\}}=0$, $(TC)_1=4$, $(TC)_2=6$

1). При $\beta_1=1$, $K(D)=1$
2). При $\beta_2=10$, $K(D)=1$

Т.е. в классе $(B_1)$ комбинации $(A_1)$, $(A_2)$ существуют.

TR63 в сообщении #1528573 писал(а):

Рассматривается класс многочленов $B_3$ с положительными коэффициентами, имеющими пять действительных корней $K(D)=5$.
Требуется выяснить, существует ли в этом классе многочлен с комбинацией $A_3$, т.е. с двумя положительными $(TC)$ (они могут быть и кратными; этот случай сложнее).

xagiwo в сообщении #1528577 писал(а):

И ещё, откуда у Вашего многочлена взялись пары противоположных действительных корней (то есть хотя бы один положительный корень) если у него все коэфф-ы положительны?

Пожалуйста процитируйте, где у меня об этом.

xagiwo в сообщении #1528577 писал(а):

Верно, что уравнение не имеет действительных противоположных корней. Но оно по приведённой формуле имеет противоположные корни. Т.е. формула по поиску $(TC)$, при которых имеются противоположные корни, верна.

Противоположность корней не означает гарантии их действительности.

[TR63]

Исправление опечатки

TR63 в сообщении #1528587 писал(а):

Т.е. в классе $(B_1)$ комбинации $(A_1)$, $(A_3)$ существуют.

Было неверное цитирование. Должно быть:

TR63 в сообщении #1528573 писал(а):

Верно, что уравнение не имеет действительных противоположных корней. Но оно по приведённой формуле имеет противоположные корни. Т.е. формула по поиску $(TC)$, при которых имеются противоположные корни, верна.

(Комп не грузился целый час; не могла откорректировать текст.)

[TR63]

xagiwo, нашла ещё одну опечатку, которая ввела Вас в заблуждение относительно постановки задачи. Должно быть:

TR63 в сообщении #1528449 писал(а):

Задача.

$f_5(a_i;\alpha)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+\alpha=0$, $a_i>0$-фиксированные, $\(\alpha\)$-действительный параметр.

Значение параметра $\alpha$, при котором $f_5(a;\alpha)$ имеет противоположные, обозначим $(TC)$.

-- 13.08.2021, 11:10 --

Опять проблемы с загрузкой.

TR63 в сообщении #1528573 писал(а):

Поскольку
TR63 в сообщении #1528449

писал(а):
(Интерес представляет только случай $B_3$ для $A_3$, т.к. остальные комбинации просты.)
то поясняю, что требуется выяснить для этого случая.

Рассматривается класс многочленов $B_3$ с положительными коэффициентами, имеющими пять действительных корней $K(D)=5$.
Требуется выяснить, существует ли в этом классе многочлен с комбинацией $A_3$, т.е. с двумя положительными $(TC)$ (они могут быть и кратными; этот случай сложнее).