2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упрощение вложенных вещественных радикалов
Сообщение03.08.2021, 10:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Хорошо известны тождества типа $2=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}$. Для таких тождеств справедливо следующее утверждение.

Пусть $u,\,v \in \mathbb{Q}$, $u \neq 0$, $v>0$, $\sqrt{v} \not\in \mathbb{Q}$. Предположим, что число $$r=\sqrt[3]{u+\sqrt{v}}+\sqrt[3]{u-\sqrt{v}}$$ оказалось рациональным. Тогда $u+\sqrt{v}=(a+b\sqrt{v})^3$ для некоторых $a,\,b \in \mathbb{Q}$.

Предлагается это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение вложенных вещественных радикалов
Сообщение03.08.2021, 11:13 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(Оффтоп)

Пусть $s = \sqrt[3]{u+\sqrt{v}} - \sqrt[3]{u-\sqrt{v}}$, тогда из $(r+s)^3 + (r-s)^3 \in \mathbb Q$ следует $s^2 \in \mathbb Q$, а из $(r+s)^3 - (r-s)^3 \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$ следует $s \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$. Условие задачи можно ослабить до $r \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$


-- 03.08.2021, 11:16 --

Вообще, хочется обобщить это, чтобы под кубическими корнями были различные корни некоторого неприводимого многочлена (а лучше — под некубическими)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение вложенных вещественных радикалов
Сообщение03.08.2021, 16:50 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo
Напишите, пожалуйста, подробнее, что-то я не совсем понял.

Upd. Хотя ладно, разберусь.

-- Вт авг 03, 2021 20:54:52 --

xagiwo в сообщении #1527989 писал(а):
Вообще, хочется обобщить это, чтобы под кубическими корнями были различные корни некоторого неприводимого многочлена (а лучше — под некубическими)
Такого рода теоремы есть. Смысл этих теорем такой: если сумма радикалов упрощаема, то и каждое слагаемое упрощается по отдельности.

-- Вт авг 03, 2021 20:56:17 --

xagiwo в сообщении #1527989 писал(а):
Условие задачи можно ослабить до $r \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$
Да, похоже на то. Спасибо.

Мое решение состояло в явных формулах для $a$ и $b$, а именно: $$a=\frac{r}{2}, \quad b=\frac{3r}{2(r^3+u)}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение вложенных вещественных радикалов
Сообщение03.08.2021, 17:08 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1528007 писал(а):
Напишите, пожалуйста, подробнее, что-то я не совсем понял.
Ещё надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение вложенных вещественных радикалов
Сообщение03.08.2021, 17:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo в сообщении #1528009 писал(а):
Ещё надо?
Нет, вроде понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group