Упрощение вложенных вещественных радикалов

[nnosipov]

Хорошо известны тождества типа $2=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}$. Для таких тождеств справедливо следующее утверждение.

Пусть $u,\,v \in \mathbb{Q}$, $u \neq 0$, $v>0$, $\sqrt{v} \not\in \mathbb{Q}$. Предположим, что число

$$r=\sqrt[3]{u+\sqrt{v}}+\sqrt[3]{u-\sqrt{v}}$$

оказалось рациональным. Тогда $u+\sqrt{v}=(a+b\sqrt{v})^3$ для некоторых $a,\,b \in \mathbb{Q}$.

Предлагается это доказать.

[xagiwo]

(Оффтоп)

Пусть $s = \sqrt[3]{u+\sqrt{v}} - \sqrt[3]{u-\sqrt{v}}$, тогда из $(r+s)^3 + (r-s)^3 \in \mathbb Q$ следует $s^2 \in \mathbb Q$, а из $(r+s)^3 - (r-s)^3 \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$ следует $s \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$. Условие задачи можно ослабить до $r \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$

-- 03.08.2021, 11:16 --

Вообще, хочется обобщить это, чтобы под кубическими корнями были различные корни некоторого неприводимого многочлена (а лучше — под некубическими)

[nnosipov]

xagiwo
Напишите, пожалуйста, подробнее, что-то я не совсем понял.

Upd. Хотя ладно, разберусь.

-- Вт авг 03, 2021 20:54:52 --

xagiwo в сообщении #1527989 писал(а):

Вообще, хочется обобщить это, чтобы под кубическими корнями были различные корни некоторого неприводимого многочлена (а лучше — под некубическими)

Такого рода теоремы есть. Смысл этих теорем такой: если сумма радикалов упрощаема, то и каждое слагаемое упрощается по отдельности.

-- Вт авг 03, 2021 20:56:17 --

xagiwo в сообщении #1527989 писал(а):

Условие задачи можно ослабить до $r \in \mathbb Q[\sqrt{v}]$

Да, похоже на то. Спасибо.

Мое решение состояло в явных формулах для $a$ и $b$, а именно:

$$a=\frac{r}{2}, \quad b=\frac{3r}{2(r^3+u)}.$$

[xagiwo]

nnosipov в сообщении #1528007 писал(а):

Напишите, пожалуйста, подробнее, что-то я не совсем понял.

Ещё надо?

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1528009 писал(а):

Ещё надо?

Нет, вроде понятно.