Понятие бесконечности ФКП

[GlazkovD]

Пусть задана функция

$$f(t)=xt+i\,yt$$

в MathCADе промоделировал, что предел функции на бесконечности есть действительное число $\infty$ либо $-\infty$.
При $t\to\infty$
Независимо от знака и величины y, наблюдаю:
$f(t)$ стремиться к $\infty$ при $x>0$
$f(t)$ стремиться к $-\infty$ при $x<0$
и плевать на значение и знак y.

В теме dxdy.ru/topic12038.html#101904
я находил понятие последовательность комплексных чисел сходится к бесконечности.
Как это можно геометрически обосновать на функцию ?
Заранее извините за тупые вопросы

[Алексей К.]

Во всех (или многих?) книгах по ТФКП формальное введение бесконечно удалённой точки иллюстрируется стереографической проекцией плоскости на сферу. Очень хорошая иллюстрация, из которой понятна единственность этой точки, $z=\infty$, и нет никаких $\pm\infty$.
У Вас есть книжки на эту тему?

Алексей К. в сообщении #152160 писал(а):

Называется ТФКП. Я, дурак, профукал во время учёбы, на Москву, Таганку променял. До сих пор мучусь...

[venja]

Алексей К. писал(а):

Во всех (или многих?) книгах по ТФКП формальное введение бесконечно удалённой точки иллюстрируется стереографической проекцией плоскости на сферу. Очень хорошая иллюстрация, из которой понятна единственность этой точки, $z=\infty$, и нет никаких $\pm\infty$.

Не думаю, что все так просто. Ведь аналог сферы римана (окружность) можно точно так же посторить и для действительного случая. Тогда в действительном анализе не стоило бы различать бесконечности разных знаков. Однако стремление к разным бесконечностям качественно меняет характер зависимости переменных, вид графика и т.п.

[вздымщик Цыпа]

Подход, аналогичный $\pm\infty$ в действительных числах, можно применить к комплексным. Тогда каждому направлению в комплексной плоскости будет соответствовать своя бесконечность и кроме $+\infty$ и $-\infty$ будет и $i\infty$, и $\left(\frac{\sqrt 2}{2} + i\frac{\sqrt 2}{2}\right)\infty$, и вообще $e^{ix}\infty$ для любого действительного $x$ из $[0,2\pi)$.

В действительном анализе часто всетречаются:
$\lim\limits_{n\to\infty} f_n = +\infty$, например $f_n = n$,
$\lim\limits_{n\to\infty} g_n = -\infty$, например $g_n = -n$,
$\lim\limits_{n\to\infty} h_n = \infty$, например $h_n = (-1)^n n$.

И $h_n$ хоть и просто расходится, из нее однако можно выделить подпоследовательности расходящиеся к $+\infty$ и $-\infty$.

В комплексном же анализе выделить из расходящейся последовательности последовательность, расходящуюся по какому-то направлению, можно очень редко, да и чаще всего это и не нужно. Потому, в ТФКП такой подход не применяется.

Добавлено спустя 5 минут 43 секунды:

Ну и кроме того «$\to+\infty$» соответствует базе $\{X \subset \mathbb{R}\,\vert\, x\in X\Leftrightarrow x > N \}$, a «$\to\infty$» соответствует базе $\{X \subset \mathbb{R}\,\vert\, x\in X\Leftrightarrow |x| > N \}$. Аналог второй в $\mathbb{C}$ есть, а аналога первой — нет.

[Алексей К.]

вздымщик Цыпа в сообщении #152736 писал(а):

Потому, в ТФКП такой подход не применяется

Нет ли там более фундаментальных причин --- типа существования и единственности обратного элемента для любого $z$?

[вздымщик Цыпа]

Алексей К. в сообщении #152740 писал(а):

Нет ли там более фундаментальных причин --- типа существования и единственности обратного элемента для любого $z$?

Существование и единственность обратных элеметов в $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$ одинакова. Она есть для всех ненулевых элементов. Более фундаментальня причина в добавке к цитируемому посту. Она зaключается в том, что в $\mathbb{C}$ просто не получается сформулировать расходимость «по направлению» потому, что нет соответствующей базы.

Добавлено спустя 17 минут 52 секунды:

Поразмышляв слегка, пришел к выводу, что можно такую базу построить, но соответствующая ей расходимость врядли будет иметь какое-то значение.

[Brukvalub]

вздымщик Цыпа в сообщении #152742 писал(а):

Она зaключается в том, что в $\mathbb{C}$ просто не получается сформулировать расходимость «по направлению» потому, что нет соответствующей базы.

Да все там есть - и базу придумать - раз плюнуть. Например, в теории граничных особенностей изучаются так называемые угловые пределы. Или, например, теоремы типа Фрагмена - Линделёфа - в них даже описывают скорость роста функций в углах и полосах.
Только никому, кроме специалистов в ТФКП, это не нужно, вот и остается "за кадром" для широких масс.

[GlazkovD]

Хм. Лично я бы представлял бесконечности так, хоть не разработчик ТФКП:
Комплексное пространство можно разделить на 4 четверти, как и декартову систему координат. Было бы конечно хороше иметь следующие бесконечности:
Четыре вида.

$$x+i\infty$$

$$x-i\infty$$

$$\infty+yi$$

$$- \infty+yi$$

Такое я могу представить, но что за бесконечность, когда действительная часть стремиться к бесконечности а мнимая есть const, причем рассматривается как действительная бесконечность.

[Алексей К.]

Вы всё же взгляните для разнообразия на ту единственную бесконечность на стереографической проекции...

[id]

Ну, сфера Римана - это просто компактификация Александрова для вещественной плоскости, точно таким же образом можно компактифицировать и вещественную прямую: т.е. $[\mathbb{R}^2] \sim S^2, [\mathbb{R}] \sim S^1$.

Но, например, $\mathbb{R}$ можно компактифицировать и по-другому, добавив $+\infty, -\infty$, тогда будет $[\mathbb{R}] \sim I$.

[mkot]

GlazkovD писал(а):

Было бы конечно хороше иметь следующие бесконечности:
Четыре вида.

$$x+i\infty$$

$$x-i\infty$$

$$\infty+yi$$

$$- \infty+yi$$

Такое я могу представить, но что за бесконечность, когда действительная часть стремиться к бесконечности а мнимая есть const,

И такие бесконечности рассматриваются. Ведь в комплексной плоскости к бесконечности
можно стремиться по самым разным траекториям, когда их необходимо уточнить и применяется
такая запись. Например, в обратном преобразовании Лапласа необходимо интегрировать
по прямой, параллельной мнимой оси, поэтому пишут:

$$\int\limits_{\beta-i\cdot\infty}^{\beta+i\cdot\infty}F(z) \mathrm{d}z.$$

[ewert]

Бесконечно удалённая точка и на прямой, и на плоскости строится одинаково, и проективные модели ровно одни и те же.

Однако на это навешивается одно принципиальное различие между вещественными и комплексными числами: первые упорядочены, вторые -- нет. Поэтому в первом случае имеет смысл рассматривать разные бесконечности по разным направлениям, во втором -- бесполезно (для общей теории).

[citadeldimon]

ewert писал(а):

Бесконечно удалённая точка и на прямой, и на плоскости троится одинаково, и проективные модели ровно одни и те же.

Однако на это навешивается одно принципиальное различие между вещественными и комплексными числами: первые упорядочены, вторые -- нет. Поэтому в первом случае имеет смысл рассматривать разные бесконечности по разным направлениям, во втором -- бесполезно (для общей теории).

Поддерживаю на 100%. В вещественных числах мы спокойно можем написать $-\infty<+\infty$. В комплексных числах мы не сравним даже $i$ и $2i$, а с бесконечностями и подавно. В комплексных числах мы сравниваем модуля комплексных чисел, я тут справедливо $|-\infty|=|+\infty|=\infty$. Поэтому тут мы вводим только понятие $\infty$.