Как понимать "for any" в математических текстах?

[Otta]

(Оффтоп)

Не, я пока глядела на запись iifat, все время вспоминала уже довольно старый случай.
Как-то раз, на одной конференции, - Москва, начало 2000-х, язык - английский, это важно - в присущей ему манере (кто хоть раз сталкивался, тот знает), Арнольд минут пять возил докладчика, весьма известного уже об ту пору, за запись на доске $f(x)\in C^\infty(\mathbb R)$. При этом половина аудитории по понятным и столь же прозаическим причинам пыталась уловить, в чем дело, что происходит и в чем причина заминки.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1526846 писал(а):

минут пять возил докладчика, весьма известного уже об ту пору, за запись на доске $f(x)\in C^\infty(\mathbb R)$

Это, кстати, любопытно. Запись действительно неприлична. Но вот другое выражение (формально столь же непристойное) "функция $f(x)$" вполне общеупотребительно. И ещё похожее: писать что-нибудь типа $\frac{(x^3,\psi_1)}{\|\psi_1\|2}$ формально нельзя, но время от времени всё же приходится.

[Otta]

(Оффтоп)

ewert
Вот-вот. И я к тому же.

[vpb]

Обычно "any" означает "любой" в смысле "каждый", "все". Т.е. синоним "each", "every". Случаев, когда бы это значило "какой-нибудь", "некоторый", я не припомню. В приведенном отрывке употребляется именно в этом смысле. Я сам, как правило, пишу именно any. А рекомендация "пишите each или every, потому что any двусмысленно" --- это, по мне, непонятная дурная мода на якобы корректные выражения, типа афроамериканец вместо негра. В обычном языке слово "any" действительно двусмысленно, но в математике есть совершенно однозначная традиция относительно того, что оно означает. Зачем математикам подстраивать свой язык под "общий" английский ?

И, кстати, фраза из ссылки на англоязычный форум

Цитата:

In the sentence "For any natural number n there exists a natural number -n such that n+(-n)=0" .... (и т.д.)

показывает, что это не математик писал (или математик с каким-то нездоровым юмором). Так что не надо воспринимать всерьёз.

-- 24.07.2021, 19:35 --

Otta в сообщении #1526788 писал(а):

Одним словом, я не знаю как это понимать, кроме того, что математик бы так не написал.

А, ну вот уже поняли, что это был не математик ...

-- 24.07.2021, 19:51 --

А хотя, впрочем, не уверен, что традиция употребления данного слова совершенно однозначна. Но мейнстрим (как его понимают и употребляют в подавляющем большинстве случаев) именно такой, как я писал.

[ellipse]

Кстати. "for all/для всех" в рамках обычного языка тоже можно неправильно истолковать. Когда мы говорим "для всех x верно что-то", не понятно, все x рассматриваются по отдельности или в совокупности. Например, определение предела: "для всех $\varepsilon>0$ существует натуральное $N$ такое, что...". Неискушенный в математике человек может подумать, что это $N$ подходит сразу для всех $\varepsilon>0$.

[Dan B-Yallay]

ellipse в сообщении #1527142 писал(а):

Например, определение предела: "для всех $\varepsilon>0$ существует натуральное $N$ такое, что...".

Ни разу не встречал подобного определения в приличных учебниках. Во-первых там не используется словосочетание "для всех $\varepsilon > 0$ есть $N$",

а пишут "для любого $\varepsilon >0$ существует $N(\varepsilon),$ зависящее от..."

[Mikhail_K]

Dan B-Yallay
Как раз наоборот, хороший тон - не писать $N(\varepsilon)$ или "$N$, зависящее от $\varepsilon$", а подразумевать это.
Потому что запись $\forall \varepsilon>0,\,\exists N\in\mathbb{N}:\,\ldots$ уже означает, что $N$ зависит от $\varepsilon$.
Если бы не зависел, было бы написано так: $\exists N\in\mathbb{N}:\,\forall\varepsilon>0,\,\ldots$.
Хотя, для первокурсников по-жаргонному можно сказать и так:

Dan B-Yallay в сообщении #1527151 писал(а):

"для любого $\varepsilon >0$ существует $N(\varepsilon),$ зависящее от..."

[epros]

ellipse в сообщении #1527142 писал(а):

Например, определение предела: "для всех $\varepsilon>0$ существует натуральное $N$ такое, что...". Неискушенный в математике человек может подумать, что это $N$ подходит сразу для всех $\varepsilon>0$.

Это не про значение "для всех", а про порядок слов. Общеизвестно, что порядок кванторов имеет значение. Поэтому когда кванторы передаются словами естественного языка, порядок слов очевидным образом должен иметь значение. Если некто неискушенный в чём-то там считает, что от порядка слов смысл не меняется, то это его проблема.

[vpb]

Mikhail_K в сообщении #1527170 писал(а):

Хотя, для первокурсников по-жаргонному можно сказать и так:

Нет, это не по-жаргонному. Иногда, так уместно писать (даже желательно), не только для первокурсников.

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1527201 писал(а):

Нет, это не по-жаргонному. Иногда, так уместно писать (даже желательно)

Действительно, в некоторых случаях уместно: тогда, когда в последующих рассуждениях требуется подставлять в эту зависимость $N(\varepsilon)$ вместо $\varepsilon$ те или иные выражения. Например, если требуется величина $N(\varepsilon/2)$.

Но и в этом случае лучше, по-моему, написать не $\forall\varepsilon>0,\,\exists N(\varepsilon):\,\ldots$ а хотя бы $\forall\varepsilon>0:\,\exists N=N(\varepsilon):\,\ldots$.
Тут подчёркивается, что для каждого $\varepsilon$ существует $N$, и что зависимость этого $N$ от $\varepsilon$ будет использоваться дальше.

Если же писать $N(\varepsilon)$ везде, даже где это не требуется - это в дальнейшем приведёт к худшему пониманию смысла утверждений с кванторами. Студенту будет сложно разобраться, что от чего зависит, когда он в какой-то момент столкнётся с записью без этих скобочек, и будет сложно записать утверждение с кванторами, не запутавшись в их порядке. Кванторы будут восприниматься не как математические символы, имеющие чёткие правила обращения с ними, а просто как сокращения соответствующих слов.

Например, я видел такую студенческую запись: $f(x)\,\exists\forall x$ (то есть, "$f(x)$ существует для всех $x$").
Такое случается именно из-за нечёткого изложения и использования правил обращения с кванторами.

vpb в сообщении #1527201 писал(а):

не только для первокурсников

Это понятно, что не-первокурсникам, которые всё понимают, можно писать как угодно, вреда не будет, и если автор хочет подчеркнуть какую-нибудь зависимость, то имеет полное право.

[vpb]

Mikhail_K в сообщении #1527204 писал(а):

Если же писать $N(\varepsilon)$ везде, даже где это не требуется - это в дальнейшем приведёт к худшему пониманию смысла утверждений с кванторами.

Я отнюдь не писал, что так надо писать везде. Вообще, у каждого автора есть свои понятия (в определенных пределах, конечно) о том, как писать, тут формальное единообразие не очень уместно. Я всего лишь хотел указать, что ваша критика высказывания Dan B-Yallay
не основательна.

[FL91]

(Оффтоп)

Кстати, меня эти "for any" и "for every" постоянно сбивают с толку, когда свои результаты начинаю как-то оформлять в статью. А во всём виноват Сосинский с со своей зелёненькой брошюрой и Кутателадзе с советами Появилась фобия. Перепроверяю каждое предложение. Пользуюсь только своей жирной тетрадью, где собраны простые обороты носителей из которых я сделал коллекцию.

В итоге убеждаешься, что это одно и тоже. Успокаивает. При всём этом спокойно можно читать на английском. При переводе обороты сами возникают в голове, но семена неуверенности уже посеяны в голове. В общем ад.

Хорошо что таким приходиться заниматься раз в год максимум. Ну может быть, если бы чаще писал, было бы легче.

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1527209 писал(а):

Я всего лишь хотел указать, что ваша критика высказывания Dan B-Yallay не основательна.

И её не было бы, если бы Dan B-Yallay не сказал, что его способ записи используется во всех приличных учебниках. Я и ответил, что это не так, и даже, скорее, наоборот.
А так-то я согласен, что не нужно придираться к форме записи.

[vpb]

Mikhail_K в сообщении #1527212 писал(а):

И её не было бы, если бы Dan B-Yallay не сказал, что его способ записи используется во всех приличных учебниках.

Так он этого не говорил, на самом-то деле...

[wrest]

ellipse в сообщении #1527142 писал(а):

"для всех $\varepsilon>0$ существует натуральное $N$ такое, что...".

Тут достаточно было бы написать так, мне кажется:

для всех $\varepsilon>0$ существуют натуральные $N$ такие, что...

Мы же $\varepsilon>0$ употребляем во множеств. числе ("для всех эпсилонов больших нуля" либо "для всех значений переменной/варианты эпсилон больших нуля")

Это как "у каждого человека есть нос" это не то же, что "у всех людей есть нос" -- тут выходит будто нос один на всех. А вот "у всех людей есть носы" -- тогда нос у каждого свой (и, грамматически, тут другая засада -- возможно у каждого носов больше одного, но точно не меньше).