Непрерывность счетного множества чисел

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1526861 писал(а):

Тогда текст (конечный или бесконечный) "число $a_0,a_1a_2a_3 ...$" и будет описанием этого числа.

Для этого необходимо уметь за конечное время вычислять, например, целую часть этого числа. Докажите, что это возможно.

-- 23.07.2021, 17:57 --

Pustovoi в сообщении #1526861 писал(а):

Поскольку $a$ - число, то оно имеет вид $a_0,a_1a_2a_3 ...$.

Мнимая единица (которая тоже число) не имеет такого вида....

[Pustovoi]

Цитата:

mihaild: А что планируется?

Ну как, планируется создать армию сторонников разделения математики на конечно описуемую и бесконечно описуемую. Ввиду того, что, как выяснилось, множество конечно описуемых чисел непрерывно, можно с большой уверенностью считать, что конечно описуемая математика охватывает практически все результаты, кроме несчетных множеств, которые относятся к бесконечно описуемой математики. Непрерывность - ключевое отличие от конструктивистских идей, породивших вычислимые числа, разрешимые множества. Но без непрерывности они не могли полноценно развиваться.

Цитата:

mihaild: Только при разных способах описания описуемы будут разные объекты.

Все объекты мы конечно или бесконечно описываем. Но разное описание не означает разные объекты. Например тексты "число 3,2" и "число три целых две десятых" описывают одно и то же число.

[manul91]

Pustovoi "конечно описуемые числа" (F-числа) и вычислимые числа - это одно и то же?
(вычислимое (или рекурсивное) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма)
Если нет - можно примера вычислимого числа которое не является F-числом, или невычислимого F-числа?
Константа Хаитина например, это F-число или нет?

[Pustovoi]

Цитата:

Geen: Для этого необходимо уметь за конечное время вычислять, например, целую часть этого числа. Докажите, что это возможно.

Пусть $a$ - число, целая часть которого равна количеству разбиений плоскости на одинаковые восьмиугольники, а после запятой последовательно выписываются количество разбиений плоскости на одинаковые 9-угольники, одинаковые 10-угольники, одинаковые 11-угольники и т.д. Ни одной цифры этого числа вычислить невозможно за конечное время. Но тем не менее это число.

-- 23.07.2021, 18:35 --

Цитата:

manul91: "конечно описуемые числа" (F-числа) и вычислимые числа - это одно и то же?
(вычислимое (или рекурсивное) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма)
Если нет - можно примера вычислимого числа которое не является F-числом, или невычислимого F-числа?

Выше привел пример невычислимого F-числа. Все вычислимые числа являются F-числами, ибо алгоритм их вычисления и есть дескриптор.

Цитата:

manul91: Константа Хаитина например, это F-число или нет?

Уверен, что нет, но по какой причине - не изучал. Либо она "скрыто" бесконечно описуема, либо некорректно описана, то есть не является на самом деле числом. Буду благодарен, кто разберется в этом. Сам я этим не занимался и не планирую, на всё не хватит сил.

[Pustovoi]

Цитата:

iifat: Не говоря уж об очевидном: «число, которое я задумал» — это конечное описание? И какое число оно описывает? Или же — почему эта фраза не является конечным описанием?

Извините, пропустил. Конечно же этот текст не является дескриптором. Именно потому, что не описывает однозначно некоторое число. Скажем так, дескриптор (например числа) - это текст, который все математики оценивают как описывающий одно и то же число. При этом может быть, что ни одной цифры этого числа не известно и не будет известно никогда.

[Aritaborian]

Pustovoi в сообщении #1526871 писал(а):

Пусть $a$ - число, целая часть которого равна количеству разбиений плоскости на одинаковые восьмиугольники, а после запятой последовательно выписываются количество разбиений плоскости на одинаковые 9-угольники, одинаковые 10-угольники, одинаковые 11-угольники и т.д. Ни одной цифры этого числа вычислить невозможно за конечное время. Но тем не менее это число.

Так там же все нули. Или я как-то неправильно понял.

[Pustovoi]

Цитата:

Aritaborian: Так там же все нули. Или я как-то неправильно понял.

Одинаковые n-угольники, не обязательно правильные, не обязательно выпуклые. Их много. Очень много.

[Pustovoi]

Как и обещал, более развернуто о применении диагонального метода Кантора для F-чисел. Для начала заметим, что все используемые математиками символы, включая различные алфавиты можно пронумеровать, так как их конечное число. Далее, тексты можно рассматривать только линейные, когда символы следует один за другим без всяческих матриц, верхних и нижних индексов и т.д., как в языках программирования. Теперь рассмотрим множество всех конечных текстов. Их можно упорядочить лексикографически, подобно тому, как это делают в словарях, поскольку все наши используемые символы тоже упорядочены. Среди всех этих текстов можно выбрать дескрипторы чисел, причем без повторов. Для этого, если два дескриптора описывают одно и тоже число, выберем тот, у которого меньший номер в нашем порядке. В общем, в итоге мы получим множество всех конечных дескрипторов, которому взаимно однозначно соответствует множество всех F-чисел. Это множество очевидно счетное и значит мы можем расположить в столбик все F-числа по порядку их дескрипторов. Обозначим это упорядоченное множество через $B$. Теперь рассмотрим следующий текст:
"Построим следующее число $b$. Целая часть его равна 0. Все цифры после запятой равны 4 или 5 по правилу: если энная цифра энного числа из множества $B$ равна 4, то энная цифра числа $b$ равна 5, а если энная цифра энного числа из множества $B$ не равна 4, то энная цифра числа $b$ равна 4. И так для всех n=1,2,3,4,..."
Казалось бы данный текст однозначно описывает некоторое число $b$, причем это число не принадлежит множеству $B$. Но это не так. Поскольку данный текст конечен, и если он является дескриптором числа $b$, то это число $b$ находится во множестве $B$ под каким-то номером $k$. И какая же цифра в нём находится на "катом" месте после запятой? Ответ - не та, что находится на "катом" месте. То есть бессыслица, принеси мне то, чего не может быть. Но это не парадокс, просто данный текст на самом деле не описывает никакое число. Это не опровергает диагональный метод Кантора, просто применять его можно только для бесконечно описуемых чисел, которых я пока не касаюсь.

[mihaild]

Pustovoi, пока вы не дадите строгого определения "конечного описания", разговаривать бессмысленно. А как только дадите - к нему (если он будет минимально разумным) можно будет применить диагональный метод.

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1526871 писал(а):

Но тем не менее это число.

Но это число не представимо в указанном Вами виде - нет дескриптора заявленного вида.

[kirilych]

Pustovoi в сообщении #1526919 писал(а):

множество всех конечных дескрипторов

Как-то это всё очень сильно напоминает очень длинную вариацию на старый добрый парадокс описания чисел ))
Напомню, если кто забыл:

Очевидно, что натуральных чисел бесконечно много, а слов - конечное число. Значит, если мы поставим перед собой задачу описать каждое число не более чем десятью словами, то рано или поздно описания у нас закончатся, их просто не может быть бесконечно много. Тогда, когда процесс наконец остановится, можно будет указать на наименьшее число, которое нельзя описать не более чем десятью словами. Однако, мы только что описали его не более чем десятью словами!
"1 наименьшее 2 число 3 которое 4 нельзя 5 описать 6 не 7 более 8 чем 9 десятью 10 словами"
Правда, как только мы это сделали, это число сразу же перестало быть "наименьшим, которое нельзя", и эта честь перешла к следующему по величине "неописуемому" числу. Но как только оно стало "описуемым", определение вновь стало указывать на наше первое число. Логическая "мигалка"...

Очень полезный парадокс, чтобы заставить детей в нем разобраться и понять, как опасны не вполне четкие "интуитивно понятные" определения. В данном случае необходимо сперва чрезвычайно четко и исчерпывающе пояснить термин "описать", иначе очень легко вляпаться в парадокс типа приведенного.
Так что до тех пор, пока крайне похожее понятие "дескриптор" не будет максимально и всесторонне уточнено, ничего хорошего не жди )

Собсно, это уже и было сказано короче:

mihaild в сообщении #1526928 писал(а):

пока вы не дадите строгого определения "конечного описания", разговаривать бессмысленно

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1526919 писал(а):

Казалось бы данный текст однозначно описывает некоторое число $b$

Казалось бы Ваш текст про многоугольники однозначно описывает некоторое число....
Предъявите, пожалуйста, алгоритм, который для произвольного текста выдаёт за конечное время является ли он дескриптором.

[manul91]

Pustovoi в сообщении #1526871 писал(а):

Уверен, что нет, но по какой причине - не изучал. Либо она "скрыто" бесконечно описуема, либо некорректно описана, то есть не является на самом деле числом. Буду благодарен, кто разберется в этом. Сам я этим не занимался и не планирую, на всё не хватит сил.

Что значит "на все не хватит сил"?
Вы считаете, что этот вопрос не имеет общего с тем что вы втираете про "конечно описуемых" чисел?

[epros]

Я чувствую, что ещё один человек пытается переоткрыть конструктивизм. Ибо если...

Pustovoi в сообщении #1526844 писал(а):

Строгое определение "конечного описания" приведет к философским дискуссиям, к которым я готов, но лучше это делать в отдельной теме, ибо замылится основная мысль.

... если под "конечным описанием" понимать алгоритм (ведь код алгоритма конечен), то как раз конструктивизм и получится.

[Pustovoi]

Цитата:

mihaild: Pustovoi, пока вы не дадите строгого определения "конечного описания", разговаривать бессмысленно. А как только дадите - к нему (если он будет минимально разумным) можно будет применить диагональный метод

Определение. "Конечным описанием действительного числа" или "дескриптором действительного числа" называется конечный текст, который однозначно описывает это число.
На самом деле дескрипторами мы пользуемся постоянно. Если я вас попрошу написать несколько чисел, имеющих бесконечную десятичную запись, вы мне напишете именно несколько дескрипторов.
Что касается диагонального метода. Множество всех конечных текстов является счетным.
Следовательно, множество всех дескрипторов также счетное.
Следовательно, множество всех конечно описуемых чисел, или F-чисел также является счетным.
Диагональный метод Кантора в данном случае заключается в построении (описании) такого числа, которое не совпадает ни с одним из F-чисел. Если такое число удалось описать конечным текстом, то полученный текст является дескриптором числа, то есть он определяет какое-то F-число. Получается, что этот текст описывает F-число, которое не является F-числом. Вывод: текст некорректный, он не описывает никакое число, не является дескриптором числа.

-- 24.07.2021, 12:43 --

Цитата:

epros: ... если под "конечным описанием" понимать алгоритм (ведь код алгоритма конечен), то как раз конструктивизм и получится.

Дескриптор более общее понятие, чем алгоритм. Я ужи приводил пример числа, которое нельзя вычислить с помощью алгоритма. Повторю текст такого дескриптора: "Пусть $a$ - число, целая часть которого равна количеству разбиений плоскости на одинаковые восьмиугольники, а после запятой последовательно выписываются количество разбиений плоскости на одинаковые 9-угольники, одинаковые 10-угольники, одинаковые 11-угольники и т.д."
Количество разбиений на n-угольники - это некоторое натуральное число, вычислить которое с помощью алгоритма невозможно. Для того, чтобы вычислить хотя бы некоторые цифры этого числа, надо построить целую теорию, решить творческие задачи, а не просто организовать перебор.
А основная мысль, до обсуждения которой так и не дошли, это то, что множество всех конечно описуемых чисел является непрерывным и счетным, что ведет к очень интересным последствиям.