Непрерывность счетного множества чисел

[Pustovoi]

Предлагаю рассмотреть новый подход к пониманию действительных чисел и бесконечных множеств. Не философский, а сугубо математический. Вводить новую аксиоматику или опровергать существующие теории при этом не потребуется. Идея состоит в том, чтобы рассматривать только конечно описуемые математические объекты: числа, множества, функции и т.д. Будем называть их F-числа, F-множества, F-функции… Конечный текст, который однозначно описывает данный объект, назовем дескриптором. Разумеется, каждый объект может иметь несколько дескрипторов, например, тексты «длина диагонали единичного квадрата» и «квадратный корень из 2» являются дескрипторами одного и того же числа. Вообще, понятие дескриптора требует отдельного обсуждения, но это поднимет целый ряд философских вопросов и уведет от главной цели. Заметим лишь, что все математические объекты, с которыми мы сталкиваемся и которые однозначно описаны, уже по определению имеют дескриптор, то есть являются F-объектами.
Наша задача показать непрерывность множества $\mathbb{R}_F$ – всех F-чисел, при условии, что в определении непрерывности под множеством понимается конечно описуемое множество. Напомним, существует несколько определений непрерывности, эквивалентных между собой. Любое из них можно принять за аксиому и вывести из неё остальные в виде теорем. Рассмотрим в качестве аксиомы следующее определение:

Множество чисел называется непрерывным, если любое его ограниченное сверху подмножество имеет супремум (точную верхнюю грань).

В этом определении используется понятие подмножества и, естественно, не оговаривается о каких подмножествах идет речь, конечно описуемых или нет. Поскольку мы предполагаем использовать только F-объекты, данное определение превратится в следующее:

Множество чисел называется F-непрерывным, если любое его ограниченное сверху F-подмножество имеет супремум (точную верхнюю грань).

Переходим к основному результату данной темы.

Теорема.
Множество $\mathbb{R}_F$ является F-непрерывным, то есть любое его ограниченное сверху конечно описуемое подмножество имеет супремум.

Доказательство. Пусть конечно описуемое множество $A\subseteq\mathbb{R}_F$ ограничено сверху числом $a$. Нам нужно описать некоторое число $b\in\mathbb{R}_F$, которое будет супремумом для $A$. Возьмем множество $B_0\subseteq A$, состоящее из тех элементов $A$, которые имеют максимальную целую часть. Такие элементы существуют, поскольку $A$ ограничено сверху. Эту целую часть обозначим $b_0$. Теперь возьмем множество $B_1\subseteq B_0$, состоящее из тех элементов $B_0$, которые имеют максимальный первый знак после запятой. Обозначим эту цифру $b_1$. Аналогично построим множество $B_2\subseteq B_1$, состоящее из тех элементов $B_1$, которые имеют максимальный второй знак после запятой и обозначим эту цифру $b_2$. Если продолжать этот процесс неограниченно, то при конкретном указании множества $A$ мы получим вполне определенное конечное описание числа $b$, положив $b=b_0,b_1b_2b_3...$. Осталось показать, что $b$ является супремумом для $A$. Это означает, что выполняются два условия:
(I) $b$ не меньше любого элемента из $A$$А$;
(II) если $c\in\mathbb{R}_F$ и $c<b$, то существует $d\in A$, такое, что $d>c$.
Докажем (I). Для любого элемента $b^*\in A$, возможны два варианта. Первый, когда $b^* принадлежит всем вложенным множествам $B_i$. В этом случае $b^*=b$, поскольку по построению в обоих этих числах все цифры совпадают. Второй вариант, когда $b^* не принадлежит некоторому множеству $B_k$. Но это означает, что $b^*$ меньше каждого элемента из $B_k$, а следовательно и $b^*<b$, так как $b$ не меньше каждого элемента из $B_k$.
Докажем (II). Пусть $c\in\mathbb{R}_F$ и $c<b$. Предположим, что $c$ не меньше каждого элемента из каждого множества $B_i\subseteq A$ для всех $i$. Тогда либо $c>b$, либо $c=b$, получаем противоречие. Следовательно, в некотором множестве $B_k\subseteq A$ существует элемент $d$ такой, что $d>c$, что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, можно строить математический анализ опираясь только на конечно описуемые объекты, заменив классическую непрерывность на F-непрерывность. Если подходить к такому построению без корректировки терминов, то придется переписывать абсолютно весь материал, поскольку часто при использовании числа или множества потребуется уточнить, что они конечно описуемы. При этом смысл почти всех математических результатов останется прежним. Если же скорректировать только определения числа и множества, то менять все последующие формулировки не потребуется. К тому же новая терминология поможет избавиться от некоторой нелогичности в названиях действительных и трансцендентных чисел. На настоящий момент $\mathbb{R}$ – это множество действительных или вещественных чисел. Оно делится на рациональные и иррациональные, среди которых, в свою очередь, есть трансцендентные. Нелогичность таких названий состоит в том, что $\mathbb{R}$ содержит бесконечно описуемые числа, для которых слова «действительный», «вещественный», «реальный» совсем не подходят. В то же время словом «трансцендентный» характеризуется, к примеру, обычное отношение длины окружности к ее диаметру. Поэтому будет вполне обоснованным предложить следующие корректировки: изначально под действительным числом понимать F-число; под множеством понимать F-множество. Скорее всего других изменений не потребуется, поскольку, например, понятия «функция», «последовательность» вводятся с помощью понятия «множество». Определение непрерывности также не изменится, как и теоремы, которые из нее следуют. Конечно же все теоремы придется проверить на предмет корректности при новом понимании чисел и множеств, в большинстве случаев менять формулировки не будет необходимости. За одним важным исключением – теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств и ее следствия. Так как множество всех конечных текстов счетно, то и множество всех конечно описуемых множеств счетно. А значит, в новой терминологии мощность множества всех подмножеств бесконечного множества равна мощности данного множества. Таким образом, несчетные множества могут появиться только вместе с бесконечно описуемыми объектами. То есть математика разделится на конечно описуемую и бесконечно описуемую. Первая содержит почти все основные результаты и согласуется с интуицией, вторая использует бесконечно описуемые объекты и требует философского подхода.

[iifat]

Pustovoi в сообщении #1526815 писал(а):

Если продолжать этот процесс неограниченно

... то получем конечно неописуемый объект. Увы.

[Pustovoi]

Фраза "Продолжить процесс неограниченно" вовсе не означает, что она порождает конечно неописуемый объект. Например текст "возьмем число 5,2 и далее будем в конце приписывать четные числа начиная с 4. Продолжим этот процесс неограниченно" порождает число 5,24681012...

[iifat]

Pustovoi в сообщении #1526821 писал(а):

Например

Пример ваш мне не нравится, но дело даже не в этом. Вам в этом месте надо доказать, что «неограниченное применение» таки приведёт к ограниченному описанию. Не «может привести», а приведёт.
Не говоря уж об очевидном: «число, которое я задумал» — это конечное описание? И какое число оно описывает? Или же — почему эта фраза не является конечным описанием?

[Pustovoi]

Весь текст доказательства до слов "Осталось показать, что $b$ является супремумом для $A$" и является конечным описанием некоторого числа, которое зависит от заданного множества $A$ и числа $a$. Вообще это обычная практика при описании бесконечного числа или множества использовать (или подразумевать) фразы "и так далее", "продолжим до бесконечности" и так далее...).

[mihaild]

Pustovoi, дайте строгое определение "конечного описания".
Впрочем при любом более-менее разумном определении получится, что конечного описания биекции между натуральными числами и всеми конечно описуемыми числами не существует, потому что к такому конечному описанию применим диагональный метод.

[Pustovoi]

Насчет диагонального метода - хороший вопрос, попозже дам развернутый ответ, суть которого в том, что текст, который описывает некое "хитрое" число, не входящее в "счетный список чисел", на самом деле не является дескриптором, то есть не описывает никакое число, будучи некорректным. При его последовательной практической реализации дойдем до чего-то вроде "на энном месте разместим цифру, которая не совпадает с цифрой на энном месте".

-- 23.07.2021, 16:45 --

Строгое определение "конечного описания" приведет к философским дискуссиям, к которым я готов, но лучше это делать в отдельной теме, ибо замылится основная мысль. По сути любое определение, любое утверждение может быть оспорено некоторой частью человечества. Поэтому скажу не строго: конечное описание (дескриптор) математического объекта это некий текст, который у математиков не вызывает споров о том, что он описывает однозначно данный объект. Такие тексты существуют, например текст "3,2" описывает число 3,2. Но с каждым текстом надо разбираться отдельно и часто это далеко не просто. А большинство конечных текстов человечество никогда не определит являются они дескрипторами чего-либо или нет. Начиная с текстов в $10^{100}$ слов.)

[iifat]

mihaild в сообщении #1526842 писал(а):

к такому конечному описанию применим диагональный метод

Странгное глаголет благородный дон. Диагональный метод принципиально применяется именно для попытки посчитать бесконечные последовательности. Конечные как раз таки прекрасно считаются.

Pustovoi в сообщении #1526844 писал(а):

Строгое определение "конечного описания" приведет к философским дискуссиям, к которым я готов, но лучше это делать в отдельной теме, ибо замылится основная мысль

Строгое описание, видите ли, как раз таки даёт ответ на вопрос, а есть ли в этом туманном рукомашестве мысль.

Pustovoi в сообщении #1526844 писал(а):

например текст "3,2" описывает число 3,2

Если только не описывает последовательность из двух чисел, к примеру.

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1526840 писал(а):

Весь текст доказательства до слов "Осталось показать, что $b$ является супремумом для $A$"

Зачем так сложно? - просто, "супремум $A$".
И в чём ценность такой "непрерывности" (при условии, что это $\mathbb{R}_F$ вообще существует)?

[mihaild]

iifat в сообщении #1526847 писал(а):

Диагональный метод принципиально применяется именно для попытки посчитать бесконечные последовательности.

Так тут и предлагается посчитать бесконечные (но конечно описываемые) последовательности. Которые, конечно, считаются, но конечно описать такой подсчет невозможно.

Pustovoi в сообщении #1526844 писал(а):

По сути любое определение, любое утверждение может быть оспорено некоторой частью человечества

Вы же предлагаете какую-то математическую теорию. В ней определения должны быть строгими. Спорить с определениями как раз никто не будет - ваша теория, вы даете определения как хотите. Но строго.

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1526815 писал(а):

любое его ограниченное сверху конечно описуемое подмножество имеет супремум.

"Ограниченное сверху конечно описуемое подмножество не имеющее супремума".

[Pustovoi]

Цитата:

iifat: Если только не описывает последовательность из двух чисел, к примеру.

Надеюсь текст "Число 3,2" всех устроит, как описывающий число 3,2? Но нет! А в какой системе счисления? Вот скажем текст "олсичаловяьд" для большинства является абракадаброй, но некоторые увидят в нем вполне определенное описание трехзначного числа. Повторяю, любое утверждение можно оспорить, не стоит уходить от темы.
Можно дать "строгое" определение конечного описания, но оно естественно вызовет еще больше споров. Как я указал в теме, построение новой аксиоматики не планируется, как и опровержение каких-либо утверждений, в частности диагонального метода Кантора. Просто все спорные вопросы сами собой перенесутся в область бесконечно описуемых объектов. Кстати, любое число либо конечно описуемо, либо бесконечно описуемо. Третьего не дано. Поскольку речь идет о числе, можно говорить о его десятичном представлении, и тогда вообще любое число может быть описано как бесконечный текст, скажем, число "7,7167634843..... . Кавычки не закрываю, ибо.

[mihaild]

Pustovoi в сообщении #1526856 писал(а):

построение новой аксиоматики не планируется, как и опровержение каких-либо утверждений

А что планируется?

Pustovoi в сообщении #1526856 писал(а):

Просто все спорные вопросы сами собой перенесутся в область бесконечно описуемых объектов. Кстати, любое число либо конечно описуемо, либо бесконечно описуемо

Только при разных способах описания описуемы будут разные объекты.

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1526856 писал(а):

Третьего не дано.

Это ещё надо доказать. Отсутствие неописуемых чисел, как минимум.

[Pustovoi]

Цитата:

Geen: Это ещё надо доказать. Отсутствие неописуемых чисел, как минимум.

Пусть $a$ некоторое число. Поскольку $a$ - число, то оно имеет вид $a_0,a_1a_2a_3 ...$. Тогда текст (конечный или бесконечный) "число $a_0,a_1a_2a_3 ...$" и будет описанием этого числа.