Мезонный атом свинца. ФЛФ II, з-ча 5-8.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

png писал(а):

5-8. The negative muon (μ-meson) is a particle that has the same electrical charge as the electron but a mass 207 times larger. When a negative muon is stopped in matter, it is attracted by a nucleus and may replace one of the atomic electrons and form a "mesic" atom. Because of its larger mass, the muon will approach closer to the nucleus than the electron and, for heavy nuclei, will even be inside the nucleus in the lowest energy state. The muon does not interact with nuclear matter through nuclear forces, but only through electrical forces and sees the nucleus as a sphere of uniform charge. From other experiments in nuclear physics it is found that the radius of nuclei can be given by $R = R_0 A^{1/3}$ where $R_0$ is approximately $1.2 \times 10^{-15}$ meters and $A$ is the number of protons plus neutrons.

Consider a model of the mesic atom where the muon oscillates back and forth along a line through the center of a lead nucleus What is the natural frequency co of these oscillations? Recall from Chapter I-41 that the quantum energy states of a harmonic oscillator are separated by an energy difference $\hbar\omega$. What is the energy difference between the two lowest states of your model of the mesic atom? It is observed experimentally that when the mesic atoms are formed in lead $6$ mev x-rays are emitted. How would you interpret this radiation?

Условие русское :

Google Translate писал(а):

5-8. Отрицательный мюон (μ-мезон) - это частица с таким же электрическим зарядом, что и электрон, но массой в 207 раз больше. Когда отрицательный мюон останавливается в материи, он притягивается ядром и может заменить один из атомных электронов и образовать «мезический» атом. Из-за своей большей массы мюон будет приближаться к ядру ближе, чем электрон, а для тяжелых ядер даже будет находиться внутри ядра в состоянии с наименьшей энергией. Мюон взаимодействует с ядерной материей не посредством ядерных сил, а только посредством электрических сил, и видит ядро ​​как сферу с однородным зарядом. Из других экспериментов в области ядерной физики установлено, что радиус ядер может быть задан как $ R = R_0 A ^ {1/3} $, где $ R_0 $ составляет приблизительно $ 1,2 \times 10 ^ {- 15} $ метров и $ A $ - количество протонов плюс нейтроны.

Рассмотрим модель мезоатома, в которой мюон колеблется взад и вперед по линии, проходящей через центр ядра свинца. Какова собственная частота со этих колебаний? Напомним из главы I-41, что квантовые энергетические состояния гармонического осциллятора разделены разностью энергий $ \hbar \omega $. Какова разница энергий между двумя низшими состояниями вашей модели мезоатома? Экспериментально наблюдается, что при образовании мезоатомов в свинце с энергией $ 6 $ мэв испускаются рентгеновские лучи. Как бы вы интерпретировали это излучение?

Мое решение:
Из задачи 4-3 получена формула поля внутри равномерно заряженного шара:
$E(x)=\dfrac{q_\text{Pb}}{4\pi\epsilon_0r_\text{Pb}^3} x$,
$q_\text{Pb}$ - заряд шара;
$r_\text{Pb}$ - радиус шара.
Уравнение движения мезона:
$m\tfrac{d^2}{dt^2}x = -E|q_\mu|$
$\tfrac{d^2}{dt^2}x = -\omega_0^2 x$

$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{q_\text{Pb} |q_\mu|}{4\pi\epsilon_0r_\text{Pb}^3 m_\mu}}$

Подставляя числовые значения:
$q_\text{Pb} = 82 \cdot |q_\mu| = 82 \cdot 1.6\cdot 10^{-19}\text{ C} $
$\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12}\text{ F/m} $
$r_\text{Pb} = 1.2 \cdot 10^{-15}\cdot 207^{1/3}\text{m} $
$m_\mu = 1.884 \cdot 10^{-28}\text{kg} $
$\hbar = 1.055\cdot 10^{-34}\text{J·sec} $
$\text{MeV} = 1.6\cdot 10^{-13}\text{J} $
,получается
$\hbar\omega_0 = 11 \text{ MeV}$.

Максимальная энергия кванта x-лучей $0,124 \text{ MeV}$. Следовательно должно испускаться не менее 100 квантов.

В решебнике получилось $\hbar\omega_0 = 6 \text{ MeV}$ (png ). Почему?

[svv]

У меня получилось, как у Вас:
WolframAlpha: h*sqrt(82/(4*pi*eps*207*m*R^3*209)) where m=9.1e-31, eps=8.85e-12, h=1.054e-34, R=1.2e-15