2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение07.06.2021, 21:26 


13/05/16
131
PhisicBGA в сообщении #1521659 писал(а):
Следовательно, в этом случае, согласно равенству для тринома (1), должно так же прекрасно выполняться и равенство (2), т.е.
равенство $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$ Так?

Нет. Если вы аккуратно подставите мои соотношения в своё уравнение, то придёте к уравнению $m^3+w^3+6mwA=9A^3$, где $x_1+y_1=9A^3$. Написанное мною уравнение имеет несколько семейств решений. Например такое
Antoshka в сообщении #1481257 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
x_1=\frac{(\sqrt{3}(a-b)^{3/2}-\sqrt{-a^3+3a^2b-3ab^2+33b^3})}{4\sqrt {2}}\\
y_1=\frac{(\sqrt{3}(a-b)^{3/2}+\sqrt{-a^3+3a^2b-3ab^2+33b^3})}{4\sqrt{2}}\\
z_1=\frac{\sqrt{3(a-b)}b}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right$$Здесь $a$ и $b$ натуральные взаимно простые числа

Если вы подставите их в $x_1^3+y_1^3=z_1^3$, то получите тождественное равенство нулю. Это я вам к тому пишу, что ВТФ так просто не возьмёшь

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение07.06.2021, 21:49 


21/05/16
4152
Аделаида
PhisicBGA, ну так как вам новый контрпример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение07.06.2021, 23:03 


06/02/14
186
Antoshka в сообщении #1521661 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521659 писал(а):
Следовательно, в этом случае, согласно равенству для тринома (1), должно так же прекрасно выполняться и равенство (2), т.е.
равенство $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$ Так?

Нет. Если вы аккуратно подставите мои соотношения в своё уравнение, то придёте к уравнению $m^3+w^3+6mwA=9A^3$, где $x_1+y_1=9A^3$. Написанное мною уравнение имеет несколько семейств решений. Например такое
Antoshka в сообщении #1481257 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
x_1=\frac{(\sqrt{3}(a-b)^{3/2}-\sqrt{-a^3+3a^2b-3ab^2+33b^3})}{4\sqrt {2}}\\
y_1=\frac{(\sqrt{3}(a-b)^{3/2}+\sqrt{-a^3+3a^2b-3ab^2+33b^3})}{4\sqrt{2}}\\
z_1=\frac{\sqrt{3(a-b)}b}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right$$Здесь $a$ и $b$ натуральные взаимно простые числа

Если вы подставите их в $x_1^3+y_1^3=z_1^3$, то получите тождественное равенство нулю. Это я вам к тому пишу, что ВТФ так просто не возьмёшь


Скажите, а это семейство решений - натуральные числа при любых натуральных и взаимно простых числах $a$ и $b$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение08.06.2021, 21:09 


06/02/14
186
kotenok gav в сообщении #1521092 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521037 писал(а):
Спасибо. Контрпример хороший. А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?

Разумеется, нет.
Более того, скажу вам сразу - если вы сводите общий случай к соседним кубам - в вашем доказательстве практически гарантированно есть ошибка. Насколько я помню, случай соседних кубов доказывается довольно тривиально.


Куда уж более тривиальней, чем через старый, добрый бином Ньютона или точнее его разновидность - трином. Но я не об этом. Контрпримеры - это конечно хорошо, но они все касаются общего случая. А что, если общий случай действительно сводится к частному случаю- невозможности решения уравнения Ферма в целых числах для соседних кубов и эта "точка сведения" будет действительно найдена? Будет ли тогда, такое доказательство: общий случай сводится к частному, которое не возможно в целых числах, справедливым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение08.06.2021, 21:51 


13/05/16
131
PhisicBGA в сообщении #1521693 писал(а):
Скажите, а это семейство решений - натуральные числа при любых натуральных и взаимно простых числах $a$ и $b$ ?

Нет, ибо если бы это было так, то для ВТФ можно было бы привести контр-пример. Если существуют попарно взаимно простые $x_1,y_1,z_1$ натуральные, такие что $x_1^3+y_1^3=z_1^3$,$z_1$ делится на $9$, то они должны удовлетворять указанным мною соотношениям

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение08.06.2021, 22:44 


06/02/14
186
Antoshka в сообщении #1521841 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521693 писал(а):
Скажите, а это семейство решений - натуральные числа при любых натуральных и взаимно простых числах $a$ и $b$ ?

Нет, ибо если бы это было так, то для ВТФ можно было бы привести контр-пример. Если существуют попарно взаимно простые $x_1,y_1,z_1$ натуральные, такие что $x_1^3+y_1^3=z_1^3$,$z_1$ делится на $9$, то они должны удовлетворять указанным мною соотношениям


Да, мудрёно...Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение08.06.2021, 22:45 


21/05/16
4152
Аделаида
PhisicBGA в сообщении #1521836 писал(а):
Будет ли тогда, такое доказательство: общий случай сводится к частному, которое не возможно в целых числах, справедливым?

Да (если вы докажете и частный случай тоже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение09.06.2021, 20:48 


06/02/14
186
kotenok gav в сообщении #1521853 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521836 писал(а):
Будет ли тогда, такое доказательство: общий случай сводится к частному, которое не возможно в целых числах, справедливым?

Да (если вы докажете и частный случай тоже).


Что не так с доказательством частного случая с помощью тринома?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение09.06.2021, 21:39 


21/05/16
4152
Аделаида
PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):
Но в любых целых числах $a, c$ равенство (7) не разрешимо.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение13.07.2021, 06:03 


27/03/12
446
г. новосибирск
Так как $z-y= d_2^3$, формула Абеля для сомножителя числа $x = u_2d_2$, то противоречие из (4) исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение18.07.2021, 19:40 
Аватара пользователя


12/10/16
621
Almaty, Kazakhstan
PhisicBGA в сообщении #1521836 писал(а):
А что, если общий случай действительно сводится к частному случаю- невозможности решения уравнения Ферма в целых числах для соседних кубов

Когда-то и я задавался этим вопросом :
Soul Friend в сообщении #1253862 писал(а):
знаю, что достаточно одного контрпримера чтобы опровергнуть ВТФ3, но я не встречал до этого объяснения этому:
Soul Friend в сообщении #1253586 писал(а):
если доказать частный случай $(b+1)^3-b^3 \neq z^3$ то автоматом докажем и $x^3-y^3$ ?

как понять внутреннюю взаимосвязь, почему доказательство частного случая, где $x$ больше $y$ на единицу, распространяется на все другие значения $x$ и $y$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение14.11.2021, 09:05 


06/02/14
186
kotenok gav в сообщении #1522008 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):
Но в любых целых числах $a, c$ равенство (7) не разрешимо.

Почему?


Ну, что ж, давайте по порядку. Имеем известное равенство для тринома 3- ей степени
$$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$, где $x,y,z$-целые числа.
Предположим, что целые числа $x_1,y_1,z_1$ - взаимно простые, $z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1 $, $z_1 и x_1$ - не четные числа, а $y_1$ - чётное число и для этих чисел выполняется равенство$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$
Поскольку $z_1>y_1$ , то обозначим $z_1-y_1=m;z_1-x_1=\Delta $ , где $m,\Delta $ - положительные целые числа .
Тогда равенство (3) будет$$(x_1-m)^3=3m(\Delta)(2x_1+\Delta-m)  \eqno (4)$$
В частном случае теоремы Ферма для соседних кубов $z_1-y_1 =m=1$ и тестовое равенство (4) принимает следующий вид
$$(x_1-1)^3=3(\Delta)(2x_1+\Delta-1) \eqno (5)$$
Для этого частного случая замечаем, что согласно равенству (2), которое в этом случае будет$$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$ число $ x_1 $ всегда будет не чётным, а в равенстве (5) одна из скобок в правой части будет чётным числом, вне зависимости от чётности $z_1$.
Поэтому, без потери общности, положим $\Delta = z_1 - x_1$ - чётное число , $ x_1 - 1= 6k $, где $ k$- целое число.
Тогда равенство (5) будет$$(6k)^3=3(\Delta)(12k+\Delta+1) \eqno (7)$$
Рассмотрим это равенство:
1.Пусть $\Delta=2^3$.
Тогда равенство (7) будет $$(3k)^3=12(3k)+3^3 $$
$$(3)^3(k)^3=(3)^2(4)k+3^3 $$
$$3(k)^3=4k+3 $$
$$k[3(k)^2-4]=3 $$
Поскольку $3$ - число простое, то возможны 2-а варианта:
а) $k=1$.Тогда получаем $-1=3$
b)$k=3$.Тогда получаем $23=1$
В обоих случаях равенство(7)в целых числах при данном условии не выполняется.
2.Пусть $\Delta=(2d)^3$,где $d$-любое целое число.
Тогда равенство (7) будет $$(3k)^3=12(d)^3(3k)+3(d)^3[(2d)^3+1] $$
И вот тут начинаются неопределенности и классическая теория чисел в бессилии разводит руками.

И вдруг, совершенно чудесным образом, нам в голову приходит замечательная идея (хотя, на самом деле, за нашей спиной стоит теория Структурных чисел, которая по непонятным причинам была отправлена на этом форуме в "Пургаторий" и поэтому приходится объясняться метафизическими терминами).
И так - суть идеи.
Имеем равенство (7) $$(6k)^3=3(\Delta)(12k+\Delta+1) $$ или
$$2(6)^2(k)^3=(\Delta)(12k+\Delta+1) $$
Сделаем такую подстановку: прибавим к обеим частям этого равенства величину $2k(\Delta)^2$
Получим $$2(6)^2(k)^3+2k(\Delta)^2=(\Delta)(12k+\Delta+1)+2k(\Delta)^2 $$
$$2k[(6)^2(k)^2+(\Delta)^2]=(\Delta)[12k+2k(\Delta)  +(\Delta)+1] $$


Рассмотрим два случая:
1.Число $\Delta$ пропорционально числу $2k$.
Тогда, из за единицы в скобках правой части равенства, в целых числах это равенство не выполняется.
2.Число $\Delta$+1 пропорционально числу $k$
Тогда сумма в скобках левой части равенства не может быть пропорциональна $\Delta $ и это равенство, опять же, в целых числах не выполняется.
Всё! Теорема Ферма для частного случая соседних кубов доказана - легко и просто.
Надеюсь, теперь Вам всё понятно, уважаемый kotenok gav?



Soul Friend в сообщении #1526498 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521836 писал(а):
А что, если общий случай действительно сводится к частному случаю- невозможности решения уравнения Ферма в целых числах для соседних кубов

Когда-то и я задавался этим вопросом :
Soul Friend в сообщении #1253862 писал(а):
знаю, что достаточно одного контрпримера чтобы опровергнуть ВТФ3, но я не встречал до этого объяснения этому:
Soul Friend в сообщении #1253586 писал(а):
если доказать частный случай $(b+1)^3-b^3 \neq z^3$ то автоматом докажем и $x^3-y^3$ ?

как понять внутреннюю взаимосвязь, почему доказательство частного случая, где $x$ больше $y$ на единицу, распространяется на все другие значения $x$ и $y$ ?


Если этот метод будет работать и в общем случае, тогда становится все понятно: ключ к доказательству частного случая одновременно является и ключом к доказательству общего случая теоремы Ферма. Именно так надо понимать "внутреннюю взаимосвязь, почему доказательство частного случая, где $x$ больше $y$ на единицу, распространяется на все другие значения $x$ и $y$ ".
Так ли это или не так в данном случае, можете проверить сами с помощью той подстановки, что сработала при доказательстве частного случая соседних кубов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение14.11.2021, 09:16 


21/05/16
4152
Аделаида
PhisicBGA в сообщении #1539121 писал(а):
В частном случае соседних кубов $z_1-y_1 =m=1$

А в общем?
Но ладно, давайте сначала разберёмся с этим "частным".
PhisicBGA в сообщении #1539121 писал(а):
Поэтому, без потери общности, положим $\Delta$=z_1-x_1-чётное число

Почему (и научитесь формулы оформлять, пожалуйста)?
PhisicBGA в сообщении #1539121 писал(а):
1.Пусть $\Delta=2^3$.

PhisicBGA в сообщении #1539121 писал(а):
2.Пусть $\Delta=(2d)^3$,где $d$-любое целое число.

А почему $\Delta$ - куб?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение16.11.2021, 20:25 


06/02/14
186

(Оффтоп)

kotenok gav в сообщении #1539122 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1539121 писал(а):
Поэтому, без потери общности, положим $\Delta$=z_1-x_1-чётное число

Почему (и научитесь формулы оформлять, пожалуйста)?



Вы, откуда взяли такую запись? В моём тексте такого огреха нет. Если это Ваш "ляп", то будьте любезны извинится за своё высокомерное замечание, иначе никогда не станете взрослым и серьёзным котом.





kotenok gav в сообщении #1539122 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1539121 писал(а):
В частном случае соседних кубов $z_1-y_1 =m=1$

А в общем?


Да, никаких проблем - теперь уже никаких!
Имеем известное равенство для тринома 3- ей степени
$$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$, где $x,y,z$-целые числа.
Предположим, что целые числа $x_1,y_1,z_1$ - взаимно простые, $z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1 $, $z_1 и x_1$ - не четные числа, а $y_1$ -чётное число
и для этих чисел выполняется равенство$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$
Поскольку $x_1,y_1,z_1$ - целые числа и $z_1 ; x_1$ - не четные числа, а $y_1$ -чётное число ,то будет справедливо равенство $(x_1+y_1-z_1)^3 = [x_1+(-z_1)-(-y_1)]^3 $. Поэтому, без потери общности, положим
$z_1 - y_1=m$ - не чётное число; $z_1 - x_1=\Delta $ - чётное число.
Тогда равенство (3) будет$$(x_1-m)^3=3m(\Delta)(2x_1+\Delta-m)  \eqno (4)$$
Сделаем такую подстановку: прибавим к обеим частям этого равенства величину $3(x_1-m)(\Delta)^2$
Получим $$(x_1-m)^3+3(x_1-m)(\Delta)^2=3m(\Delta)(2x_1+\Delta-m)+3(x_1-m)(\Delta)^2  $$ или
$$(x_1-m)[(x_1-m)^2+3(\Delta)^2]=3(\Delta)[m(2x_1+\Delta-m)+(x_1-m)(\Delta)]  \eqno (5)$$

Из этого равенства следует, что разность $(x_1-m)$ должна быть пропорциональна величине $3(\Delta)$. Поскольку произведение $m(2x_1+\Delta-m)$ в квадратных скобках в правой части равенства - число не чётное, то оно может быть пропорционально чётному числу $\Delta$ только с дробным коэффициентом, где в знаменателе дроби содержится чётная часть числа $\Delta$.
Значит, в целых числах равенство (5), а следовательно и равенство (3),из которого это равенство было получено, не выполняются.
Следовательно, согласно равенству для тринома (1), не может выполняться в целых числах и равенство (2).

Как мы видим, и в общем случае теоремы Ферма для 3-ей степени работает эта чудесная подстановка. Случайно? Как говорят физики,- "легко творить чудеса, имея спрятанную в рукаве добротную научную теорию".

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение16.11.2021, 21:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8253
PhisicBGA в сообщении #1539498 писал(а):
Из этого равенства следует, что разность $(x_1-m)$ должна быть пропорциональна величине $3(\Delta)$.Поскольку произведение $m(2x_1+\Delta-m)$ в квадратных скобках в правой части равенства - число не чётное, то оно может быть пропорционально чётному числу $\Delta$ только с дробным коэффициентом, где в знаменателе дроби содержится чётная часть числа $\Delta$.
Мутный текст, который ничего не доказывает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group