Существование и единственность решения ОДУ

[mushti]

Добрый день!
Возник вопрос о существовании и единственности решения ОДУ первого порядка. Дифференциальное уравнение

$$ \frac{dx}{dt}=2-x(t)+x(t)^2 $$

с начальным условием $x(0)=0$ имеет гладкую правую часть, следовательно должно иметь решение на всей оси $t\ge 0$. Однако, решая уравнение явно, видно что он имеет разрыв:

$$ x(t)=\frac{1}{2} \left(\sqrt{7} \tg \left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{7} t -2 \arctg\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\right)\right)+1\right) $$

Возможно, я ошибся в расчетах с явным решением. Если же нет, как такое возможно?

[Otta]

Вы вручную решали или?
Вопрос по существу.

[Mikhail_K]

mushti в сообщении #1526046 писал(а):

Дифференциальное уравнение

$$ \frac{dx}{dt}=2-x(t)+x(t)^2 $$

с начальным условием $x(0)=0$ имеет гладкую правую часть, следовательно должно иметь решение на всей оси $t\ge 0$.

А ну-ка, приведите теорему, которую Вы здесь имеете в виду.
Или решите задачу $x^\prime(t)=x(t)^2,\,x(0)=1$.

[mushti]

Otta в сообщении #1526047 писал(а):

Вы вручную решали или?
Вопрос по существу.

Уважаемый Otta: Признаюсь, решал символьными пакетами. Однако вручную тоже не так сложно, даже ответ выглядить намного короче.
Заменой $y=x-\frac{1}{2}$ правую часть можно привести к полному квадрату и решать уравнение $\frac{dy}{dt}=y^2+\frac{7}{4}$ которое является ОДУ с разделяющимися переменными.
Таким образом

$$ \frac{dy}{y^2+\frac{7}{4}}=dt \quad\Rightarrow \quad \frac{2}{\sqrt{7}}\arctg\frac{2y}{\sqrt{7}}=t+C \quad\Rightarrow \quad y=\frac{\sqrt{7}}{2}\tg\left(\frac{\sqrt{7}}{2}(t+C)\right) $$

Возвращаясь к начальным условиям, видно, что $y(0)=x(0)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$, то есть

$$ y(0)=\frac{\sqrt{7}}{2}\tg\left(\frac{\sqrt{7}}{2}C\right)=-\frac{1}{2} \quad\Rightarrow \quad \tg\left(\frac{\sqrt{7}}{2}C\right)=-\frac{1}{\sqrt{7}} \quad\Rightarrow \quad C=-\frac{2}{\sqrt{7}}\arctg\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) $$

Таким образом, $x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}\tg\left(\frac{\sqrt{7}}{2}(t+C)\right)$, где $C=-\frac{2}{\sqrt{7}}\arctg\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)$

-- Ср июл 14, 2021 10:20:54 --

Mikhail_K в сообщении #1526049 писал(а):

mushti в сообщении #1526046 писал(а):

Дифференциальное уравнение

$$ \frac{dx}{dt}=2-x(t)+x(t)^2 $$

с начальным условием $x(0)=0$ имеет гладкую правую часть, следовательно должно иметь решение на всей оси $t\ge 0$.

А ну-ка, приведите теорему, которую Вы здесь имеете в виду.
Или решите задачу $x^\prime(t)=x(t)^2,\,x(0)=1$.

Уважаемый Михаил. Я ссылался на теорему о существовании и единственности, пожалуйста см. книжку Филиппова, глава 7:
Теорема существования и единственности для уравнение $y'=f(t,y)$ с начальным условием $y(x_0)=y_0$.
Пусть в замкнутой области $R=\{(x,y): |x-x_0|\le a, |y-y_0|\le b\}$ функции $f, f_y$ непрерывны. Тогда на некоторой отрезке $|x-x_0|\le d$ существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $y(x_0)=y_0$.

Был неправ. Там присутствует ограничение на рости функции $f$, а именно, говорится, что можно взять $d=\min(a,\frac{b}{m})$ где $m$ - любое такое, что $|f|\le m$ в области $R$.

Насчет уравнения $\frac{dx}{dt}=x^2$, $x(0)=1$, это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого есть $x(t)=\frac{-1}{t+c}$. Подставляя начальное условие, находим, что $x=\frac{1}{1-t}$.

[Mikhail_K]

mushti
Таким образом, вопросов у Вас не осталось?

[mushti]

Mikhail_K в сообщении #1526057 писал(а):

mushti
Таким образом, вопросов у Вас не осталось?

По изначальному вопросу все теперь понятно, большое спасибо всем за внесение ясности. Благодарю за помощь!
Возник другой вопрос: есть ли литература, касающаяся существования и непрерывности решений уравнения Риккати? Хотелось бы иметь лучшее понимание предмета. Я нашел только литературу общего характера

[D'Amir]

mushti в сообщении #1526058 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1526057 писал(а):

mushti
Таким образом, вопросов у Вас не осталось?

По изначальному вопросу все теперь понятно, большое спасибо всем за внесение ясности. Благодарю за помощь!
Возник другой вопрос: есть ли литература, касающаяся существования и непрерывности решений уравнения Риккати? Хотелось бы иметь лучшее понимание предмета. Я нашел только литературу общего характера

Есть книга А. И. Егоров "Уравнения Риккати"