Неравенство с интегралом и сверткой Лапласа?

[Divergence]

1) Если выполняется неравенство

$$ \int^t_0 \Bigl( f(\tau) \, - \, g(t-\tau) \, h(\tau)\Bigr) d\tau \ge 0$$

для всех $t \ge 0$, то можно утверждать, что

$$ f(\tau) \, - \, g(t-\tau) \, h(\tau) \ge 0$$

верно для всех $\tau >0$, если $0<\tau<t$.
Верное ли данное утверждение?
2) А можно ли утверждать, хотя бы то, что частный случай

$$ f(\tau) \, - \, g(\tau) \, h(\tau) \ge 0$$

верен для всех $\tau >0$? Это утверждение - частный случай первого, выбрав в первом $\tau=t/2$.
3) Или может верно такое утверждение, при условии $f(t)=g(t)=h(t)$?

Рассуждение:
Известно, что для широкого класса функций $F(t)$, если выполняется неравенство

$$ \int^t_0 F(\tau) d \tau \ge 0 $$

для всех $t \ge 0$, то функция неотрицательна, то есть $F(\tau) \ge 0$ для всех $\tau \ge 0$. Следовательно, верно утверждение: если выполняется неравенство

$$ \int^t_0 \Bigl( f(\tau) \, - \, g(\tau) \, h(\tau)\Bigr) d\tau \ge 0$$

для всех $t \ge 0$, то можно утверждать, что

$$ f(\tau) \, - \, g(\tau) \, h(\tau) \ge 0$$

для всех $\tau \ge 0$.
Введем новую функцию $ G(\tau) = g(t-\tau) $, тогда исходное неравенство принимает вид уже доказанного утверждения.
Однако эта замена - "меня терзают смутные сомнения".

Пожалуйста подскажите, если знаете ссылки (рус или англ) на интегральные неравенстве включающие конволюцию Лапласа.

Заранее спасибо.

[dryabov]

нет. Достаточно рассмотреть частный случай $f(\tau)=\sin\tau$ и $h(\tau)=0$.

[Divergence]

Спасибо за синус.

А при каких условиях свертка Лапласа функции

$$ S(t) :=\int^t_0 f(t-\tau) f(\tau) d\tau $$

является возрастающей функцией для всех $t>0$?

А при каких является неотрицательной функцией для всех $t>0$ ($S(t) \ge 0$) ? Только для неотрицательных $f(t)$?

[dryabov]

Тут тоже всё не просто, например $f(\tau)=1+1.4\sin\tau$ принимает отрицательные значения, но ее свертка неотрицательна. Так что $f(\tau)\ge 0$ хоть и является достаточным условием, но точно не необходимым.