О понятии дифференциала [Вопрос решен! спасибо форуму]

[zwook]

Здравствуйте!

Начну с того, что проблема моя наверное уникальная! Прошу отнестись с пониманием и не предлагать "читай учебник" ибо из за этого учебника проблемы то и начались (Очень уж непонятно там все изъясняется).

Прошу объяснить в глобальном смысле, что из себя представляет дифференциал, а также было бы просто замечательно получить ссылки на книги в которых подробно описывается решение дифференциальных и интегральных уравнений. Человек я слава богу не глупый, разобраться наверняка смогу... Только вот точку опоры где-то ведь надо взять

[ewert]

дифференциал -- это (для функции одной переменной): $df(x)\equiv f'(x)dx)$. Надо просто вызубрить, без этого жить будет худо.

А интерпретации -- две, и обе следует осознавать.

1). Это -- главная линейная часть приращения. Т.е.: приращение функции зависит от приращения аргумента, в принципе, как попало, но при уменьшении приращений зависимость становится всё более линейной. Т.е. отклонение от линейности в относительном масштабе становится всё меньше. А коэффициент пропорциональности -- это фактически и есть производная.

2). Ну и по рабоче-крестьянски: дифференциал -- это очень маленькое приращение функции, отвечающее соотв. очень маленькому приращению аргумента. В практических задачах именно это соображение и работает.

[zwook]

ewert писал(а):

дифференциал -- это (для функции одной переменной): $df(x)\equiv f'(x)dx)$. Надо просто вызубрить, без этого жить будет худо.

А интерпретации -- две, и обе следует осознавать.

1). Это -- главная линейная часть приращения. Т.е.: приращение функции зависит от приращения аргумента, в принципе, как попало, но при уменьшении приращений зависимость становится всё более линейной. Т.е. отклонение от линейности в относительном масштабе становится всё меньше. А коэффициент пропорциональности -- это фактически и есть производная.

2). Ну и по рабоче-крестьянски: дифференциал -- это очень маленькое приращение функции, отвечающее соотв. очень маленькому приращению аргумента. В практических задачах именно это соображение и работает.

Спасибо за ответ, все очень ясно и понятно объяснили!

ewert писал(а):

2). Ну и по рабоче-крестьянски: дифференциал -- это очень маленькое приращение функции, отвечающее соотв. очень маленькому приращению аргумента. В практических задачах именно это соображение и работает.

Я так понимаю что это можно представить как дельта(x) при очень малом изменении x ?


#Edit: Ну и все же, как довести интегральное уравнение до числового значения?

Допустим s=(интеграл t2|t1)Корень [vx(t)]^2+[vy]^2+[vz(t)]^2dt

Или здесь нет необходимости доводить до числа?

[Henrylee]

zwook писал(а):

Я так понимаю что это можно представить как дельта(x) при очень малом изменении x ?

Скорее
$\Delta f(x)$ при очень очень малом "изменении $x$".

zwook писал(а):

#Edit: Ну и все же, как довести интегральное уравнение до числового значения?

Допустим s=(интеграл t2|t1)Корень [vx(t)]^2+[vy]^2+[vz(t)]^2dt

Или здесь нет необходимости доводить до числа?

Вот это что ли?

$$ s=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{v_x^2(t)+v_y^2(t)+v_z^2(t)}\,dt $$

(обратите внимание, как набрана формула)
И какое же число Вы собрались тут искать? Если это длина дуги кривой в $\mathbb{R}^3$, то при чем тут уравнение, считаете и все..
(я так понимаю, что $v_x$ -производная $x$-компоненты функции по $t$? Тогда сверху обычно ставят точку - вот так: $\dot{v}_x^2(t)$). Ну или перетелепатировал я..

[GAA]

Henrylee писал(а):

Тогда сверху обычно ставят точку - вот так: $\dot{v}_x^2(t)$). Ну или перетелепатировал я..

Перетелепатировали. $v_x(t) = \dot{x}(t)$
Добавлено
$\dot{v}_x(t) = d^2x/dt^2$

[Henrylee]

GAA писал(а):

Перетелепатировали. $v_x(t) = \dot{x}(t)$

А, ну и правда, как это я за буквой $v$ не узнал скорость
Посчитал, что исходная кривая буквой $v$ задана..

[gris]

По-моему, понятие дифференциала даже функции одной переменной достаточно сложно для среднего первокурсника. Даже если не копать глубоко, то это самый завальный вопрос начальной части матана, наряду с понятием вещественного числа.

Обычно изучающий представляет неопределенный интеграл как семейство функций, производнаую как число(в точке) или функцию, определенный интеграл - число, предел. И это, в общем-то, верно. А дифференциал это что? Выражение, функция, часть приращения? Чуть дальше формального определения и темнота.

Обращаться с дифференциалами, даже решать типовые дифференциальные уравнения научиться несложно, но вот в достаточной мере понять, что это такое, наверное, можно только в курсе дифференциальной геометрии. Когда изучаются касательные расслоения, дифференциальные формы и т.п.

Меня эта тема слегка царапнула по сердцу, потому что я по бестолковости долго не мог разобраться в этом вопросе

[ewert]

просто надо изучать математику параллельно с физикой. В физике дифференциал -- понятие вполне простое и естественное. Но это, конечно, на какого физика нарвёшься.

[GAA]

ewert писал(а):

дифференциал -- это (для функции одной переменной): $df(x)\equiv f'(x)dx)$. Надо просто вызубрить, без этого жить будет худо.
А интерпретации -- две, и обе следует осознавать.
1). Это -- главная линейная часть приращения.... [Выделение цветом GAA]

Это очень не общепринято. Например, в книге Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1 — М.,1982 на с.158 найдем:

Цитата:

В случае $A=0$ слагаемое $Adx$ перестает быть главной частью приращения $\Delta y$ дифференцируемой функции. Однако договоримся и в случае $A=0$ определять дифференциал функции формулой $dy=Adx$, т.е. считать, что он равен нулю в этом случае.[$A = f’(x)$ — прим. GAA]

[Алексей К.]

gris в сообщении #152516 писал(а):

Обращаться с дифференциалами, даже решать типовые дифференциальные уравнения научиться несложно, но вот в достаточной мере понять, что это такое, наверное, можно только в курсе дифференциальной геометрии. Когда изучаются касательные расслоения, дифференциальные формы и т.п.

Наверное, речь идёт о новой дифф. геометрии. В классической Д.Г. дифференциал по-ewertовски несложен, физичен. Под классической Д.Г. я (и, похоже, не я один) понимаю примерно тот объём сведений, который в главе "Д.Г." излагают, например, Корн и Бронштейн-Семендяев.

Пребываю в раздумье --- с одной стороны, всю жизнь прожил с тем дифференциалом, который впарили на физтехе. Много чего с ним сосчитал, и даже опубликовал.
С другой стороны всё чаще нарываюсь на упоминание формальных определений дифференциала, и слово "касательные пространства" запомнилось. Однажды даже мордой тыкнули на форуме, что я об этом представления не имею.
Пребываю в раздумье --- может, как-то поднатужиться и выучить, что это за штука такая? Или жить как жил?

Оптимально, наверное, следующее: попытаться дожить до пенсии как есть. Если удастся, то появится много свободного времени. Можно даже набрать учеников, и рассказывать им про дифференциал. На вырученные деньги нанять современного репетитора, который мне расскажет, что такое дифференциал на самом деле...

[Brukvalub]

Алексей К. в сообщении #152565 писал(а):

На вырученные деньги нанять молодого современного репетитора, который мне расскажет, что такое дифференциал на самом деле...

А уж на репетитора, который расскажет, что есть на самом деле второй дифференциал - точно никакой пензии не хватит!

[Алексей К.]

Так если я буду знать, что такое касательное пространство, то к касанию второго порядка сумею на халяву перейти!

[ewert]

GAA писал(а):

Это очень не общепринято. Например, в книге Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1 — М.,1982 на с.158 найдем:

Цитата:

В случае $A=0$ слагаемое $Adx$ перестает быть главной частью приращения $\Delta y$ дифференцируемой функции.

Да-а??!
Я был лучшего мнения об Ильине и Позняке.

Т.е. никогда по этой книжке не учился и никого не учил, но когда впервые увидел -- показалась разумной.

А тут...

Даже если главная линейная часть приращения вдруг оказывается нулевой -- она от этого не перестаёт быть линейной и главной.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #152572 писал(а):

Даже если главная линейная часть приращения вдруг оказывается нулевой -- она от этого не перестаёт быть линейной и главной.

Главной (в смысле порядка бесконечной малости) - очень даже перестаёт.

[GAA]

В оправдание И&П привожу цитату в более развернутом виде (добавление выделено синим цветом):

Цитата:

В случае $A=0$ слагаемое $Adx$ перестает быть главной частью приращения $\Delta y$ дифференцируемой функции (ибо это слагаемое равно нулю в то время, как слагаемое $\alpha \Delta x$, вообще говоря, отлично от нуля). Однако договоримся и в случае $A=0$ определять дифференциал функции формулой $dy=Adx$, т.е. считать, что он равен нулю в этом случае.[$A = f’(x)$ — прим. GAA]

В книге Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. (трехтомного издания) — М.: Наука, 1969 на с.212:

Цитата:

$\Delta y= A\Delta x + o(\Delta x)$ (1)
При $A \ne 0$ наличие равенства (1) показывает, что бесконечно малая $A\Delta x$ эквивалентна бесконечно малой $\Delta y$ и, значит, служит для последней ее главной частью, если за основную бесконечно малую взята $\Delta x$ [62, 63].[Выделение Фихтенгольца]

В n 63 дается определение главной части:

Цитата:

Эта простейшая бесконечно малая $c\alpha^k$, эквивалентная данной бесконечно малой $\beta$, называется её главной частью (или главным членом).