Доказать, что число будет натуральным при любых m, n

[Zeddikus]

Доказать, что это число будет натуральным при любых натуральных $m, n$:
$\frac{((\sqrt{m}+\sqrt{m-1})^{2n}+1)^2}{4(\sqrt{m}+\sqrt{m-1})^{2n}}$

Идея, которая пришла в голову, но которую не знаю как реализовать: если заменить $m$ на $m+1$, то это равносильно замене минуса на плюс под радикалами, и возможно, что при раскрытии скобок слагаемые также сократятся, как и при минусе.

Также удалось получить гипотезы для общих формул для нескольких $n$:
$n=1$: $m$
$n=2$: $(2m-1)^{2}$
$n=3$: $m(4m-3)^{2}$
$n=4$: $(8m(m-1)+1)^{2}$
$n=5$: $m(4m(4m-5)+5)^{2}$

Есть идеи для общего случая?

[lel0lel]

Раскрыть квадрат в числителе, поделить на знаменатель, там где он не сократится домножить на сопряжённое. Далее смотреть в сторону последовательности Люка $\{V_n\}$.