Электрическое поле в плоскости заряженного кольца

[reterty]

Рассмотрим бесконечно тонкое равномерно заряженное кольцо. Требуется определить напряженность электрического поля в плоскости этого кольца при произвольном положении пробного заряда. Детальный расчет приведен в http://www.arkady-k.narod.ru/statja6.htm Аналитика там вся верная (я проверял). А вот с конечным выражением через эллиптические интегралы и последующим численным расчетом явно есть проблемы......Я ввел этот интеграл в Maple и он дает четкую расходимость на самом кольце. Никакой смены знака направления напряженности вблизи кольца не наблюдается. Оно и понятно. Если использовать Ньютонов метод для доказательства отсутствия поля внутри сферы, то для точек внутри кольца всегда получаем силу притяжения к центру кольца.... В общем, имеем проблемку...

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1525651 писал(а):

А вот с конечным выражением через эллиптические интегралы и последующим численным расчетом явно есть проблемы.

reterty в сообщении #1525651 писал(а):

В общем, имеем проблемку.

А можно по чётче сформулировать суть проблем? Что не так и что сомнительно?

[reterty]

Формулирую более четко: В ссылке, приведенной в стартовом сообщении приведена зависимость напряженности поля от положения пробного заряда в малой окрестности точки кольца. Утверждается, что она конечна на кольце (см. рис. 3). Я же утверждаю, что на кольце данная функция все же терпит разрыв второго рода. Действительно, в точке кольца имеем бесконечно большую силу отталкивания (или притяжения). Сместим инфинитезимально пробный заряд "вправо" или "влево" . Тогда получим бесконечности разного знака для проекции напряженности на выбранное направление в плоскости кольца.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1525654 писал(а):

Я же утверждаю, что на кольце данная функция все же терпит разрыв второго рода.

Похоже, что вы правы. Но это надо обосновать. Интегралы там, вероятно, не из простых. Но можно попробовать применить метод малого параметра. То есть считать поле на расстоянии $\varepsilon$ от кольца. (Наверное, лучше называть кольцо окружностью, поскольку под кольцом можно понимать и фигуру, которая лежит между двух соосных окружностей). При этом бесконечно малые высоких порядков отбрасывать.

(Оффтоп)

Но у нас сейчас такая жара, что прямо сейчас считать интегралы лень. Может быть вы начнёте, чтобы стимулировать обсуждение?

[reterty]

Да у меня тоже как и у автора комбинация полных эллиптических интегралов первого и второго рода. Но у меня все ок в отношении разрыва второго рода.... У меня Мэйпл выдает единственный вариант. Автор, видимо, использовал Вольфрам, который явно начудил....

[мат-ламер]

Качественно картинка вероятно будет следующей. Возьмём бесконечно длинную тонкую равномерно заряженную линию. Её поле считается просто. Будем рассматривать это поле только в плоскости, содержащую эту линию. Так поле вблизи линии будет приблизительно изменяться также, как и поле вблизи кольца (окружности).

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1525657 писал(а):

Качественно картинка вероятно будет следующей. Возьмём бесконечно длинную тонкую равномерно заряженную линию. Её поле считается просто. Будем рассматривать это поле только в плоскости, содержащую эту линию. Так поле вблизи линии будет приблизительно изменяться также, как и поле вблизи кольца (окружности).

Верно!!!

-- Пт июл 09, 2021 20:26:45 --

Меня вот другое волнует. Почему поле внутри сферы всюду нуль, а внутри кольца-нуль лишь в центре. Ведь кольцо можно рассматривать как инфинитезимальную составную часть сферы?

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1525651 писал(а):

Никакой смены знака направления напряженности вблизи кольца не наблюдается. Оно и понятно

Лично я этот момент не понял. Но, думаю, после расчётов всё станет на свои места.

-- Пт июл 09, 2021 20:33:06 --

reterty в сообщении #1525658 писал(а):

Меня вот другое волнует. Почему поле внутри сферы всюду нуль, а внутри кольца-нуль лишь в центре. Ведь кольцо можно рассматривать как инфинитезимальную составную часть сферы?

Внутри сферы никаких силовых линий не будет. Они там взаимно уничтожаются. В плоскости кольца внутри кольца их тоже как-бы нет в виду взаимного уничтожения. Но если мы хоть чуть-чуть отодвинемся от этой плоскости, то там силовые линии уже будут. А поле в плоскости кольца (внутри него) будет зависеть от объёмной плотности силовых линий. А она будет отлична от нуля.

-- Пт июл 09, 2021 20:38:20 --

reterty в сообщении #1525651 писал(а):

Никакой смены знака направления напряженности вблизи кольца не наблюдается. Оно и понятно.

Тут бы надо уточнить, про что мы говорим, про скаляр или про вектор. Вектор, наверное, всё же меняет направление на противоположное.

[reterty]

В плоскости кольца внутри кольца они есть! Вблизи центра кольца напряженность поля приближенно пропорционально расстоянию до центра кольца. Вблизи окружности поле обратно пропорционально кратчайшему расстоянию до окружности (как Вы уже выше показали).

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1525661 писал(а):

В плоскости кольца внутри кольца они есть!

У меня пока впечатление, что поле есть, напряжённость его ненулевая. А вот силовых линий нет. Давайте подождём, может физики подтянутся и разъяснят ситуацию.

(Оффтоп)

Вот, тема для дискуссии нашлась.

[reterty]

Силовые линии в плоскости -суть радиальные линии из центра. Только "смотрят" они по-разному внутри и снаружи кольца..

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1525665 писал(а):

Силовые линии в плоскости -суть радиальные линии из центра. Только "смотрят" они по-разному внутри и снаружи кольца..

А вы попробуйте представить ход силовых линий внутри кольца в самой её плоскости. Где они начинаются (это понятно) и где заканчиваются (тут сложнее) ?

[reterty]

Заканчиваются в центре, как если бы там был точечный заряд... (окружность при этом считаем заряженной положительно). Да, странненько

[Mihr]

reterty в сообщении #1525670 писал(а):

Заканчиваются в центре, как если бы там был точечный заряд... (окружность при этом считаем заряженной положительно). Да, странненько

Что здесь странного? А если взять два равных положительных заряда на некотором расстоянии друг от друга, то напряжённость их общего поля равна нулю в центре отрезка, соединяющего заряды. То есть, прямые линии напряжённости, расходящиеся от зарядов, "заканчиваются" в этом самом центре отрезка. Это тоже странно?

[reterty]

Я тут провел расчет напряженности поля кольца конечной толщины внутри кольца. Численный счет производился с применением тороидальных функций как решений уравнения Лапласа для кругового тороида. Получется, что максимум модуля напряженности реализуется не на внутренней стенке а вблизи нее. Эффект имеет место при величинах радиуса кольца больших половины радиуса тора. На численный глюк не похоже. Я использовал очень большое число членов ряда. Разница в экстремуме со значением на стенке невелика, но она есть! А вот как качественно обьяснить это с физической точки зрения не знаю..... Да, кольцо проводящее, то есть, характеризуется неравномерным распределением заряда на нем.