Численное решение ДУ с ограничением

[van341]

Подскажите, пожалуйста, способ численного решения дифференциального уравнения вида $\frac{dy}{dx}=f(y,x)$ для $y(0)=a$ и $y(x)\ge0$ (основной вопрос как в численном решении учесть ограничение $y(x)\ge0$)?

[Padawan]

А про функцию $f(y,x)$ что известно? Если она достаточно хорошая (удовлетворяет условию теоремы существования и единственности решения), то приходится выбирать -- либо нарушается ДУ, либо нарушается неравенство $y(x)\geqslant 0$.

[van341]

Предполагаем, что решение ДУ (вид $f(x,y)$) существует и единственно. Практическая задача состоит в численном определении эволюции функции плотности вероятности, которая должна быть положительна (не считаю, что корректно на каждой итерации численного решения ДУ, к примеру, методом Рунге-Кутты принудительно проверять условие $y(x)\ge0$ и в случае невыполнения приравнивать $y$ к нулю).

[Padawan]

Вы лучше про исходную задачу об эволюции функции плотности вероятности расскажите (похоже там должно быть уравнение с частными производными), а то так можно долго гадать.

[van341]

Предполагается решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова $\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=\mathcal{L}[p(x,t)]$ ($\mathcal{L}[\cdot]$ - оператор диффузии), которое в проекционной постановке метода Галёркина сводится к системе ОДУ вида $\frac{d\vec{c}(t)}{dt}=\mathbf{S}^{-1}\mathbf{Q}\vec{c}(t)$ при аппроксимации $p(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}c_n(t)\psi_n(x)$; $\psi_n(x)$ - Гауссовы базисные функции.

[Padawan]

А Вы сделайте замену в уравнении ФПК $\widetilde p(x,t)=\ln p(x,t)$ и его уже аппроксимируйте системой ОДУ и численно решайте. И выхода на нуль уже не будет.

[van341]

Хорошая идея , спасибо! А как быть с условием $\int_a^bp(x,t)dx=1$ ($x\in[a,b]$)?

[Padawan]

А почему Вы сразу не хотите решать исходное уравнение разностными методами? Это же почти уравнение теплопроводности?