Дивергенция

[Stensen]

Всем здравия. Уважаемые, помогите разобраться. В Зельдович,Мышкис "Элементы прикладной математики" 1972 на стр.334 (см.прилож.) пытаюсь ответить на вопрос автора: куда и откуда пойдут линии центрально-симметричного векторного поля, если $f(r) $ при $r\to0$ будет возрастать быстрее или медленнее, чем $\frac{1}{r^2}$. По приведенной в приложении методике, нахожу вне центра $\operatorname{div} (\vec{A)} = \operatorname{div} (f(r) \cdot \vec{r})$ для: $ f(r) = \frac{C}{r}$ и $ f(r) = \frac{C}{r^3}$.

1. для: $ f(r) = \frac{C}{r},\,\,\,\,\,\operatorname{div} (\vec{A)} = \frac{C}{r^2}$

2. для: $ f(r) = \frac{C}{r^2},\,\,\,\,\,\operatorname{div} (\vec{A)} =0$

3. для: $ f(r) = \frac{C}{r^3}, \,\,\,\,\,\operatorname{div} (\vec{A)} = - \, \frac{C}{r^4}$.

Помогите проинтерпретировать результаты. Из (1) и (3) получается, что вне центра существуют источники и чем дальше от центра, тем меньше их плотность, верно? Что происходит в нуле затрудняюсь сказать.

[sergey zhukov]

Stensen
Закон обратных квадратов дает нулевую дивергенцию (источник только в центре). Закон $r^{-1}$ дает поле, которое убывает медленнее, чем обратные квадраты. Что-то должно его поддерживать, чтобы это было так. Поэтому плотность источников по всему пространству получается положительной. Закон $r^{-3}$ дает поле которое убывает быстрее, чем обратные квадраты. Следовательно, оно должно чем-то поглощаться. Поэтому плотность источников отрицательна по всему пространству.

Дивергенция - это плотность источников. В центральной точке плотность источников бесконечна, т.к. конечный поток поля выходит из бесконечно малой точки.

Ответ на вопрос такой: в случае закона, отличного от обратных квадратов, линии поля начинаются и заканчиваются на источниках, которые распределены теперь по всему пространству.

В Берклеевском курсе физики есть иллюстрация электрического поля покоящегося заряда (линии, которые расходятся радиально во все стороны от заряда) и сказано что-то примерно такое: эта картинка неправильно отражает силовые линии точечного заряда. Потому, что так выглядит поле $r^{-1}$, а не $r^{-2}$. Чтобы правильно отобразить на плоскости поле $r^{-2}$, нужно некоторые силовые линии поля начинать прямо из пустого пространства.

[Stensen]

Спасибо, пока понятно

[мат-ламер]

Осталось понять, что такое закон обратных квадратов, закон $r^{-1}$ и закон $r^{-3}$ в рамках обозначений данной темы. Вроде в этих рамках у нас напряжённость поля описывается формулой $f(\vec{r})=f(r)\vec{r}$ .

[Stensen]

мат-ламер в сообщении #1525089 писал(а):

Осталось понять, что такое закон обратных квадратов, закон $r^{-1}$ и закон $r^{-3}$ в рамках обозначений данной темы. Вроде в этих рамках у нас напряжённость поля описывается формулой $f(\vec{r})=f(r)\vec{r}$ .

Здесь под $\vec{r}$ я понимал единичный вектор

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1525099 писал(а):

Здесь под $\vec{r}$ я понимал единичный вектор

Спасибо, разобрался. А то я подумал, что $\vec{r}=\{x,y,z\}$ . А единичный вектор может лучше обозначать через $\vec{}r^0$ , как у в книге в формуле (36) (либо нуль внизу). И точку в вашей первой формуле с дивергенцией лучше не ставить, поскольку точка иногда обозначает скалярное произведение. Но это я уж сильно придираюсь.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1525081 писал(а):

В Берклеевском курсе физики есть иллюстрация электрического поля покоящегося заряда (линии, которые расходятся радиально во все стороны от заряда) и сказано что-то примерно такое: эта картинка неправильно отражает силовые линии точечного заряда. Потому, что так выглядит поле $r^{-1}$, а не $r^{-2}$. Чтобы правильно отобразить на плоскости поле $r^{-2}$, нужно некоторые силовые линии поля начинать прямо из пустого пространства.

Как-то странно это написано. Если рисовать линии, которые лежат в плоскости, то ничего в пустом пространстве начинаться не должно.
Возможно, там пытаются рисовать некие проекции линий, в плоскости не лежащих.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1525075 писал(а):

Что происходит в нуле затрудняюсь сказать.

С этим вопросом неплохо бы разобраться. Для закона $r^{-2}$ из физических соображений ясно, что точечный заряд должен быть в начале координат. Для закона $r^{-3}$ это так же ясно из физических соображений. Должны же силовые линии где-то начинаться. Однако, величину этого заряда неплохо бы вычислить. По-видимому из теоремы Гаусса. Хотя авторы книги намекают на необходимость использования обобщённых функций. Для закона $r^{-1}$ как-то не очевидно наличие точечного заряда в нуле. Надо подсчитать.

[sergey zhukov]

DimaM
Так получается потому, что плотность силовых линий отражает напряженность поля. А на плоскости плотность силовых линий падает, как $r^{-1}$. Чтобы плотность силовых линий правильно отражала напряженность поля $r^{-2}$, нужно некоторые линии обрывать в пустоте.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1525136 писал(а):

Так получается потому, что плотность силовых линий отражает напряженность поля. А на плоскости плотность силовых линий падает, как $r^{-1}$. Чтобы плотность силовых линий правильно отражала напряженность поля $r^{-2}$, нужно некоторые линии обрывать в пустоте.

Это вы, похоже, пытаетесь проектировать линии из пространства на плоскость. А я предлагаю рисовать те линии, которые в этой плоскости лежат. И тогда ничего обрывать не надо.

[sergey zhukov]

DimaM
Все верно.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1525121 писал(а):

Для закона $r^{-1}$ как-то не очевидно наличие точечного заряда в нуле. Надо подсчитать.

Заряд в окрестности нуля при $E_r\sim r^{-1}$:

$$q=\frac{1}{3}\lim_{r\to 0}(r^3\operatorname{div}{\bf E})=0.$$

Так, вроде, получается.

[sergey zhukov]

DimaM
Да, в этом случае поток через сферу с центром в нуле стремится к нулю, когда радиус сферы стремится к нулю. Т.е. в случае поля $r^{-1}$ хотя напряженность его и возрастает в нуле до бесконечности, точечного заряда там нет. Интересно.

[Stensen]

Уважаемые, помогите представить заряд в нуле: $q=-\, \frac{c}{3r}$ и $\operatorname{div} E_r $ для $E_r\sim r^{-3}$ через дельта-функцию, если возможно. Можно ли записать так: $\operatorname{div} (E_r) = -\,\frac{c}{r^4} \,\delta(r)$ ?

[amon]

Stensen в сообщении #1525760 писал(а):

Можно ли записать так: $\operatorname{div} (E_r) = -\,\frac{c}{r^4} \,\delta(r)$ ?

Нельзя. Не всякая функция, расходящаяся в нуле есть $\delta(r)+ \text{что-то}.$ В Вашем случае $\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2E_r\right),$ поскольку никаких компонент, кроме радиальной, напряженность не имеет. Дифференцирование дает обычную функцию, обращающуюся в бесконечность в нуле. Сий факт следует принять со смирением.