Общий вопрос об общем решении дифура

[xagiwo]

Вопрос такой: почему в ответе при решении дифура ответ пишется именно такой, какой он пишется? Например:
Представьте, что вас просят решить дифур $y' = -y^2$. Тогда от вас, вероятно, ожидают ответа в виде $y = \frac1{x+c}$. Но, например, функция

$$y = \begin{cases} \frac1{x},&\text{если $x>0$;}\\ \frac1{x+1},&\text{если $x<-1$.} \end{cases}$$

не входит в эту серию решений, хотя и подходит под условие. Почему в ответе есть функции, у которых домен — $\mathbb{R}$ с одной выколотой точкой, но нету тех, у которых выколото побольше точек (или целый отрезок)? И это ещё не говоря про то, что из любого решения можно выкалыванием точки из области определения получить новое решение.


Представьте, что вас просят решить дифур $y' = -\frac yx$. Тогда от вас, вероятно, ожидают ответа в виде $y = \frac c{x}$. Но, например, функция

$$y = \begin{cases} \frac2{x},&\text{если $x>0$;}\\ \frac3{x},&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

не входит в эту серию решений, хотя удовлетворяет условию. Как в таких случаях вообще определяется, какие функции будут в ответе, а какие нет?

[Padawan]

Если не выходить в комплексную плоскость:
Решением дифференциального уравнения называется функция, определённая на промежутке. В частности решение

xagiwo в сообщении #1524810 писал(а):

$y = \frac1{x+c}$

определено либо при $x>-c$, либо при $x<-c$. Это две разные интегральные кривые.

Если рассматривать решения в комплексной плоскости ($x$ -- комплексный аргумент, $y=y(x)$ -- аналитическая функция), то плоскость с выкинутой точкой связна, и Ваш вопрос снимается.

[xagiwo]

Padawan, спасибо! А для дифура $y' = 3\sqrt[3]{y^2}$ недостаточно будет в ответе записать $y = (x+c)^3$, $y = 0$, вместо этого придётся писать что-то типа

$$y=\begin{cases} (x-c_1)^3,&\text{если $x>c_1$;}\\ 0,&\text{если $c_2\leqslant x \leqslant c_1$;}\\ (x-c_2)^3,&\text{если $x<c_2$.} \end{cases}$$

? Иначе получатся не все возможные решения на промежутках

[Padawan]

xagiwo
Для этого дифура -- да. Но для него и нарушается теорема существования и единственности.