корректность в расчетах гравиполя тел

[mihail2102]

При нахождении напряженности гравитационного поля произвольного тела используют закон притяжения Ньютона и интегральное исчисление: тело разбивается на условные кубики интегрирования dx dy dz, к каждому кубику применяется закон притяжения Ньютона между этим кубиком и единичной массой находящейся на контрольном расстоянии от тела(допустим от центра масс тела), Далее происходит интегральная сборка проекций силы притяжения каждого кубика на направление линии соединяющей единичную массу на контрольном расстоянии,
с центром масс тела и таким образом находится напряженность гравиполя тела.
Некорректность этого алгоритма заключается в том, что действие массы кубика заменяется действием шарика равной массы с кубиком и вписанным в этот кубик. Эту операцию позволяет сделать известная из механики теорема: шар некоторой массы эквивалентен по воздействию материальной точке равной массы, расположенной в центре шара. Но у нас то КУБ. Загоняя всю массу кубика в шарик надо быть уверенным в том, что на бесконечности кубик по воздействию, эквивалентен шарику.
А здесь есть проблемы. Доказать с помощью интегрального исчисления эквивалентность куба и шара одинаковых размеров и массы, на бесконечности невозможно, так как это доказательство будет основано на "ложном" предположении об эквивалентности шара и куба на бесконечности (ведь придется интегрировать, а потом переходить к пределу). То есть доказательство будет противоречивым.
И это доказательство эквивалентности при помощи интегрирования имеет альтернативу. В декартовой системе координат, в одном случае предел отношения куба к шару на бесконечности равен 1(единица), в другом это отношение равно 2(два).
Ситуацию может поправить решение интегрального уравнения, где неизвестная функция будет стоять под знаком тройного интеграла. Но лично мне не известно о методах решения таких уравнений.
Прошу высказывать мнения.

[DimaM]

mihail2102 в сообщении #1522865 писал(а):

В декартовой системе координат, в одном случае предел отношения куба к шару на бесконечности равен 1(единица), в другом это отношение равно 2(два).

Покажите формулки, дающие 2(два).

[mihail2102]

Поле куба вдоль линии соединяющей контрольную точку с центром масс куба, проходящей через геометрический центр грани.
$\ln\left\lbrace\frac{1+\sqrt{2+\left\lbrace n-1\right\rbrace ^2}}{-1+\sqrt{2+\left\lbrace n-1\right\rbrace^2}}\right\rbrace +\ln\left\lbrace\frac{-1+\sqrt{2+\left\lbrace n+1\right\rbrace ^2}}{1+\sqrt{2+\left\lbrace n+1\right\rbrace^2}}\right\rbrace$
где: $n=\frac{R}{R_1}$, $R$-расстояние от центра масс куба до контрольной точки
$R_1$ - длина радиуса шара или полуребра куба
Поле шара равной массы: $\frac{2}{n^2}$
Выражения для полей, суть безразмерные и приведенные к единой плотности. Термин "поле"-условный, так как представленные выражения для полей безразмерные и суть частное от деления реального поля на гравитационную постоянную, на величину радиуса или полуребра куба и на плотность куба(из-за приведения к единой плотности). По факту, представленные выражения "готовы" к анализу их отношений, при стремлении относительного расстояния от центра масс (величина n), к бесконечности.

[DimaM]

mihail2102
Наберите, пожалуйста, формулы нормально. И, если не сложно, чуть подробностей - откуда такое получилось.

[mihail2102]

Убрал формулу

[DimaM]

mihail2102
https://dxdy.ru/topic183.html
Как получится, напишите, из каких соображений выведена ваша формула.

[mihail2102]

Надо взять интегралы, это достаточно емко по объему. При взятии возникнет ситуация: можно брать по Двайту (таблицы интегралов-= американские), можно брать по Брычкову итд(таблицы интегралов-советские). Американские дают Аrcsin, советские arctg. американское направление дает отношение 2, советское 1. Обратное дифференцирование дает одну и ту же подынтегральную функцию. Здесь и возникает альтернатива, так как область определения арксинуса хотя и уже(от слова узость), но присутствует. Я не могу дать предпочтения какому-то направлению, может кто-то обоснует.
далее приводим к общей плотности(т.к плотность шара при равной массе примерно в два раза больше), переходим в относительные переменные (n), делаем разложение в ряд по степеням выражения для куба, переходим к пределу итд. Все достаточно емко:страниц 20 выкладок.

[DimaM]

mihail2102 в сообщении #1522910 писал(а):

Надо взять интегралы, это достаточно емко по объему. При взятии возникнет ситуация: можно брать по Двайту (таблицы интегралов-= американские), можно брать по Брычкову итд(таблицы интегралов-советские). Американские дают Аrcsin, советские arctg. американское направление дает отношение 2, советское 1. Обратное дифференцирование дает одну и ту же подынтегральную функцию.

Ничего не понятно.
Очевидно, что где-то ошибка, но без формул не понять, где.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Geen]

mihail2102 в сообщении #1522888 писал(а):

Поле куба

Как Вы получили эту формулу?

mihail2102 в сообщении #1522888 писал(а):

представленные выражения "готовы" к анализу их отношений

И где же анализ?

-- 18.06.2021, 12:32 --

mihail2102 в сообщении #1522910 писал(а):

Американские дают Аrcsin, советские arctg.

Бывает - таблицами интегралов тоже надо уметь пользоваться....

mihail2102 в сообщении #1522910 писал(а):

американское направление дает отношение 2, советское 1. Обратное дифференцирование дает одну и ту же подынтегральную функцию.

А вот так не бывает - у Вас ошибка.

[sergey zhukov]

mihail2102
Надеюсь, эту проблему вы привели в качестве "найди подвох"? Сами то вы не сомневаетесь в корректности применения интегрального исчисления к задачам гравитации?

Если вы не доверяете интегральному исчислению, то как вы получили формулы для полей куба и шара, которые потом нужно рассматривать с бесконечного расстояния? Порочный круг?

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1522865 писал(а):

Доказать с помощью интегрального исчисления эквивалентность куба и шара одинаковых размеров и массы, на бесконечности невозможно, так как это доказательство будет основано на "ложном" предположении об эквивалентности шара и куба на бесконечности (ведь придется интегрировать, а потом переходить к пределу). То есть доказательство будет противоречивым.

Надеюсь, вы не забыли, что интегрировать нужно векторную функцию? И вы умеете обращаться с символом "о малое" при интегрировании?

[DimaM]

Посчитал я для куба, заряд $q$, ребро $2L$, на прямой, проходящей через центр грани перпендикулярно ей, на расстоянии $h>L$ от центра куба. Вводя, вслед за ТС, $n=h/L$, получаем с помощью Wolfram Alpha

$$E=\frac{q}{4L^2}\ln\left(\frac{\sqrt{(n-1)^2+1}+1}{\sqrt{(n+1)^2-1}-1}\cdot\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}-1}{\sqrt{(n+1)^2+1}+1}\right).$$

При $n\gg 1$ выходит

$$E\approx\frac{q}{4L^2}\ln\left(\frac{n^2}{(n-2)(n+2)}\right)=\frac{q}{4L^2}\ln\left(1+\frac{4}{n^2-4}\right)\approx\frac{q}{L^2n^2}=\frac{q}{h^2},$$

ровно как от точечного заряда (и странно было бы ожидать иного).

[Padawan]

DimaM
На самом деле это вычисление ничего не доказывает. Ибо, как писал ТС в первом посте, получается порочный круг. Для обоснования интегрирования мы используем интегрирование.
По-моему притяжение тела есть тройной интеграл просто по определению. Либо же можно сформулировать некоторые аксиомы, которым должно удовлетворять поле притяжения и доказать, что при этих условия поле есть интеграл.
Пример аксиом: $\mathbf F=\nabla \varphi$, $\Delta \varphi=4\pi\rho$