2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение02.04.2021, 20:02 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для любых заданных рациональных $n$ и $k\ne{0}$, найдите рациональные $x,y$ такие, что $x^3+kx^2+y^3=n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение02.04.2021, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
При $$\[y =  - x - \frac{k}{3}\]$ сразу находится одно решение

$$\[
x =  - \frac{{27n + k^3 }}{{9k^2 }};y = \frac{{27n - 2k^2 }}{{9k^2 }}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение02.04.2021, 22:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев, чуть-чуть подправить $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Да, описка. Спасибо. Правильно так

$$\[
y = \frac{{27n - 2k^3 }}{{9k^2 }}
\]$

Интересно, есть ли другое решение уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 07:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Коровьев в сообщении #1512658 писал(а):
Интересно, есть ли другое решение уравнения.
Над полем рациональных дробей от $k$, $n$ решений бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 10:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
По аоводу других решений.
Приведем исходное уравнение к уравнению эллиптической кривой в форме Вейерштрасса.
$W^2=U^3-432n^2+64nk^3$.
Решение Коровьев соответствует рациональной точке $P=(U,W)$, где
$U=\dfrac{4(k^6-108k^3{n}+729{n^2})}{9k^4}$
$W=-\dfrac{4(2k^9+405k^6{n}-8748{k^3}{n^2}+39366n^3)}{27k^6}$
Рациональной точке $(-P)$ cсоответствует уже громоздкие выражения для $x,y$
$x=\dfrac{k^{15}+1107k^{12}{n}-91125k^9{n^2}+1259712k^6{n^3}-6908733k^3{n^4}+14348907{n^5}}{9k^2(7k^{12}+108k^9{n}+10935k^6{n^2}-157464k^3{n^3}+531441n^4)}$
$y=-\dfrac{4k^{15}-2214k^{12}{n}+20412k^9{n^2}+433026k^6{n^3}-5314410k^3{n^4}+14348907n^5}{9k^2(7k^{12}+108k^9{n}+10935k^6{n^2}-157464k^3{n^3}+531441n^4)}$
Бесконечное число решений получается, например, при рассмотрении рациональных точек $\pm{2P},\pm{3P},\pm{4P}...$ и вычислении для них соответствующих $x,y$
По Лутц-Нагелю для целых $n,k$ таких рациональных точек бесконечное число. Для нецелых $n,k$ достаточно вычислить координаты точек $P,2P,3P,4P,...17P$ и убедиться, что эти точки различны . Тогда на нашей кривой, по Мазуру, есть точка бесконечного порядка и рациональных точек на кривой бесконечное число.
Вообще, у исходного уравнения, наверное, есть и решения с компактными выражениями для $x,y$ кроме удачно полученного решения Коровьев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 10:30 


16/08/05
1146
$x^3+kx^2+y^3=n\implies (k (2 x^2 + k x))^2 + (2 (y^3 - n))^2 = (k^2 x - 2 (y^3 - n))^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 11:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Еще одно замечание: при целых $n$ и $k \neq 0$ на кривой $x^3+kx^2+y^3=n$ лежит только конечное множество целых точек $(x,y)$ (они могут быть найдены с помощью элементарного алгоритма).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 11:57 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
dmd, согласен, но приведите выражения для $x,y$.
nnosipov в сообщении #1512680 писал(а):
они могут быть найдены с помощью элементарного алгоритма).

Насчет конечного числа целых точек согласен. Это теорема Морделла.
А какой элементарный алгоритм имеется в виду, можно ссылку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 13:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1512684 писал(а):
А какой элементарный алгоритм имеется в виду, можно ссылку?
Это, скорее, фольклор: нужно выражение $x^3+kx^2-n$ "зажать" между двумя последовательными кубами. (В народе более популярно зажимание между двумя последовательными квадратами, но можно обобщить и на кубы, и на вообще любые степени.) Если же говорить более серьезно, то это частный (и, так уж оказалось, элементарный) случай метода Рунге для диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение03.04.2021, 14:56 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1512691 писал(а):
это частный (и, так уж оказалось, элементарный) случай метода Рунге для диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

Да-да, вспомнил Вашу статью 2015 года на эту тему. Мог и сразу догадаться.
Но здесь эллиптические кривые имелись в виду, а может быть появится еще решение с компактным ответом
без их применения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение09.04.2021, 19:07 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
В продолжении темы.
Для любого положительного рационального $n$ предлагается найти такие положительные рациональные $x,y$, что $x^3+x+n^3+n=y^3+y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение18.06.2021, 23:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ответ.
$x=\dfrac{n(81n^{12}+162n^{10}+162n^8+108n^6+45n^4+12n^2+1)}{27n^8+27n^6+18n^4+6n^2+1}$
$y=\dfrac{n(9n^6+9n^4+6n^2+2)(9n^6+9n^4+3n^2+1)}{27n^8+27n^6+18n^4+6n^2+1}$
Если поменять местами в исходном уравнении $n^3+n$ и $y^3+y$, то всё становится намного сложней.
В этой области классический результат:
любое положительное рациональное число представимо в виде суммы четырех положительных кубов рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение28.06.2021, 12:02 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Вот совсем компактный ответ к предыдущему уравнению $x^3+x+n^3+n=y^3+y$ с положительными рациональными $n,x,y$
$x=\dfrac{3n^2 + 1}{3n(3n^4+3n^2+1)}, y=\dfrac{9n^6+9n^4+3n^2+1}{3n(3n^4+3n^2+1)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^3+kx^2+y^3=n
Сообщение20.11.2021, 12:18 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Вот задача их серии исходной.
Рассматривается уравнение $x^2+x^3+y^2+y^3+xy=n^2$
1.Докажите, что для любого рационального $n$ это уравнение имеет решение в рациональных $x,y$.
2. Для $n=1$ найдите 1-параметрическое решение уравнения в положительных рациональных $x,y$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group