Задание топологии в линейном топологическомпространстве

[Ivan_B]

Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. стр. 167 писал(а):

Из связи, существующей в линейном топологическомпространстве между алгебраическими операциями и топологией,вытекает, что топология в таком пространстве полностью определяется заданием системы окрестностей нуля. Действительно,пусть $x$ — точка линейного топологического пространства $E$, и $U$ — некоторая окрестность нуля в $E$. Тогда $U-x$ — «сдвиг»этой окрестности на $x$—есть окрестность точки $x$

Почему?

Пусть $A$ - окрестность нуля, тогда по непрерывности $x-x$ должна существовать окрестность $X$ точки $x$, что для всех $y\in X$ верно $y-x \in A$. Но это не значит, что $X$ - "сдвиг" $A$. Подскажите, пожалуйста, как доказать, что $X$ - "сдвиг" $A$.

[пианист]

Если я Вас правильно понял: непрерывны как $y \to y - x$, так и наоборот, $y \to y + x$.
Поэтому окрестности переходят в окрестности же.

[Ivan_B]

Нужно доказать, что для любой окрестности нуля $A$ существует окрестность $B$ произвольной точки $x_0$, что $\{x-x_0 | x \in B\} = A$
У меня получается доказать только что $\{x-x_0 | x \in B\} \subset A$:
Доказываю, что для любой окрестности нуля $A$ существует некоторая окрестность $B$ произвольной точки $x_0$, такая что $\forall x \in B, x-x_0 \in A$:
$y-x$ непрерывна, тогда $y \to y - x_0$ непрерывно, в том числе, в точке $x_0$. $x_0$ отображается в $0$, по непрерывности для окрестности $A$ должна существовать окрестность $B$ c требуемыми свойствами.
Аналогично для окрестности $B$ точки $x_0$ существует окрестность $C$ нуля , такая что $\forall x \in C, x+x_0 \in B$
Поскольку $\forall x \in C, x+x_0 \in B$ и $\forall x \in B, x-x_0 \in A$, то $\forall x \in C, x \in A$.
Получается я доказал, что $C \subset A$

[mihaild]

Можно же явно написать $B = \{x + x_0 | x \in A\}$. И дальше нужно, пользуясь открытостью $A$ и непрерывностью сложения, доказать что $B$ открыто.

[Ivan_B]

Понял. Если отображать каждую точку $x$ из $B$ в $A$ и в качестве окрестности результата брать все $A$, то по непрерывности для каждой точки $x$ найдется окрестность $X$, которая вся будет отображаться в $A$. Прообразом $A$ является $B$, поэтому $X \subset B$. Объединение всех $X$ даст $B$, поэтому $B$ - открытое множество.

[maximav]

Сдвиг у них не доказывается, а всего лишь вводится как термин (не нужный). Ключевое здесь - это конечно окрестность нуля. Возможно, что в свете этого можно нащупать ответ на вопрос https://dxdy.ru/topic136492.html.

Рассматривая топологию на числах, мы можем от числовых окрестностей нуля $|x-a|<\epsilon$ перейти к открытым интервалам $a<x<b$. Их использование НЕ требует арифметики. С другой стороны, когда строим топологию на векторном пр-ве у нас есть основная формула $\|X-A\|<\epsilon$ (условный аналог окрестности нуля). Минус здесь, разумеется не числовой, а обращение (+)-операции векторного пространства как коммутативной группы. Можно ли теперь показать/нащупать (естественные приговорки опускаю), что чтобы задать топологию на векторном пространстве условия на алгебру этой коммутативной группы должны быть такие какие мы пишем в аксиомах нормы?

[Ivan_B]

Хотел убедиться, что к тому, что я написал в последнем сообщении, не будет замечаний. Убедился.

Спасибо Вам за помощь!

[maximav]

Скорее вам спасибо. Окрестность нуля - хорошая подсказка.

[Ivan_B]

maximav, я признателен всем, кто пытался мне помочь, хорошо, если мои сообщения чем-то Вам помогли, но по большей части мое предыдущее сообщение было адресовано mihaild.
Прошу прощения за флуд, который я развел. Хотел сказать спасибо, но как-то все не так пошло.