МОШП 2021 (Шелковый Путь)

[rightways]

Целые числа $x,y,z,t$ удовлетворяют условиям

$$x^2+y^2=z^2+t^2, xy=2zt$$

Докажите, что $xyzt=0$.


МОШП - математическая олимпиада Шелковый путь, в основном участники из Казахстана. Эта задача была последней.

[nnosipov]

Как следствие, получим $x^4+x^2y^2+y^4=a^2$. Это есть в книге: Mordell, Diophantine Equations, 1969 (p. 19). Доказательство элементарное (метод спуска).