2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 19:35 
Аватара пользователя


12/02/20
275
Изображение

В точке $A$ находится источников электронов которые были ускорены напряжением $U_0 = 36 V$ в горизонтальном направлении.
На пути электронов находятся два коротких интервала напряжения $B$ и $C$ (размеры считать пренебрежимо малыми), на расстоянии $a$ друг от друга.
Эти интервалы получают сигнал напряжения $U_{C}(t) = - U_{B}(t) = U(t)$ от генератора колебаний с регулируемым профилем.
Можем предполагать, что $ \left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$. Задачей является собрать (сфокусировать) электроны, стартующие в разные моменты времени, в один и тот же момент времени на детектор $D$, расположенный на расстоянии $b$ от интервала напряжения $C$. Для анализа данного устройства ответьте на следующие вопросы:

1) Предполагая, что $U(t) = 0$, найти время, необходимое электронам для передвижения от интервала напряжения $B$ до детектора $D$.

2) Найти это же время, предполагая, что напряжение $U(t) = U \ll U_0$ константно (полученное в результате упрощения выражение должно быть линейной функцией от $U$).

3) Какому функциональному уравнению должна удовлетворять временная зависимость напряжения $U(t)$, подаваемого на интервалы напряжений генератором колебаний, чтобы все электроны одновременно достигли детектора $D$? Решить это уравнение предполагая, что $a \ll b$ и $ \left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$



Первый пункт совсем тривиальный, $t_0 = \frac{a+b}{v_0}$ где $v_0 = \sqrt{\frac{2 e U_0}{m}}$

Со вторым уже возникают, почему-то, первые вопросы.


Разность потенциала между точками $B$ и $C$ будет $\Delta U = - 2 U$

Тогда на отрезке $BC$ электрон будет тормозится а на участке $CD$ пройдет с постоянной скоростью.

$t = t_{BC} + t_{CD}$
Найдем скорость в точке $C$ $v_c = \sqrt{v_0^2 - \frac{4 U e}{m}}$

Тогда $t_{BC} = \frac{2 a }{v_0 + v_c}$ а $t_{CD} = \frac{b}{v_c}$

$t = \frac{2 a}{v_0 \left(1 + \sqrt{1 - \frac{4 U e}{m v_0^2}} \right)} + \frac{b}{v_0 \sqrt{1 - \frac{4 U e}{m v_0^2}}} \approx \frac{2 a}{v_0 \left(2 - \frac{U}{U_0} \right)} + \frac{b}{v_0} \left(1 + \frac{U}{U_0} \right) \approx \frac{a+b}{v_0} + \frac{U}{U_0} \left(\frac{a}{2 v_0} + \frac{b}{v_0}\right)$

Ответ почти такой-же, однако отсутствует термен $\frac{U}{U_0} \frac{b}{v_0}$

Подскажите, была допущена где-то ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 20:01 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
profilescit в сообщении #1521651 писал(а):
Эти интервалы получают сигнал напряжения $U_{C}(t) = - U_{B}(t) = U(t)$ от генератора колебаний с регулируемым профилем.


А на рисунке не так. Согласно рисунку обе обкладки $C$ заземлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 20:28 
Аватара пользователя


12/02/20
275
EUgeneUS в сообщении #1521652 писал(а):
А на рисунке не так. Согласно рисунку обе обкладки $C$ заземлены.


На рисунке есть 3 пару обкладок, заземлены крайние. А между точками $B$ и $C$ действует разность потенциала $- 2 U$
Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 21:48 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
profilescit
Хорошо. Картинка и условия состыковались.
Но тогда Вы не очень верно описываете профиль скорости электрона.
В точке $B$ скорость электрона скачком возрастёт (если $U>0$), потом будет постоянной, потом в точке $C$ скорость скачком упадёт до начальной.
Поправка ко времени пролета, зависящая от $U$ никак не может зависеть от $b$, так как отрезок $b$ электрон пролетает всегда с одинаковой скоростью - с начальной, вне зависимости от $U$.

-- 07.06.2021, 21:53 --

UPD: вышесказанное относится к случаю $U(t) = \operatorname{const}$
А если не константа, то всё становится сильно интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 22:00 
Аватара пользователя


12/02/20
275
EUgeneUS, видимо я понял где ошибку допустил. Надо было взять что в тех маленьких промежутках скорость скачком меняется. Сейчас попытаюсь снова, и вернусь с вопросами к последнему пункту задачи)

Кстати, в точке $B$ скорость должна скачком уменьшиться, разве нет? $U_B = - U$

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 22:02 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
UPD2, вот это просто неверно:
profilescit в сообщении #1521651 писал(а):
Разность потенциала между точками $B$ и $C$ будет $\Delta U = - 2 U$

1. $B$ и $C$ всё таки не точки, а маленькие интервалы, на которых потенциал меняется очень сильно, а значит разница потенциалом между ними просто не определена.
2. Можно говорить о разности потенциалов между парами обкладок:

а) между первой и второй: $U$
б) между второй и третьей: $-U$ (или, что тоже самое, между третьей и второй: $U$)
в) между первой и третьей: ноль

Но удвоенного напряжения не будет нигде (ни в какой паре точек).

-- 07.06.2021, 22:05 --

profilescit в сообщении #1521670 писал(а):
Кстати, в точке $B$ скорость должна скачком уменьшиться, разве нет?$


Если напряжение, приложенное ко второй паре обкладок положительное, то скорость возрастет. У электрона же отрицательный заряд.

profilescit в сообщении #1521670 писал(а):
$U_B = - U$

Вот этого я не понимаю. Есть первая пара обкладок, она заземлена. Есть вторая пара обкладок она под напряжением $U$. Откуда минус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 22:05 
Аватара пользователя


12/02/20
275
EUgeneUS в сообщении #1521671 писал(а):
1. $B$ и $C$ всё таки не точки, а маленькие интервалы, на которых потенциал меняется очень сильно, а значит разница потенциалом между ними просто не определена.
2. Можно говорить о разности потенциалов между парами обкладок:

а) между первой и второй: $U$
б) между второй и третьей: $-U$ (или, что тоже самое, между третьей и второй: $U$)
в) между первой и третьей: ноль

Но удвоенного напряжения не будет нигде (ни в какой паре точек).


Да, спасибо, после предыдущего вашего сообщения как раз это и понял. (после слов что скорость скачком меняется)

-- 07.06.2021, 21:07 --

EUgeneUS в сообщении #1521671 писал(а):
Вот этого я не понимаю. Есть первая пара обкладок, она заземлена. Есть вторая пара обкладок она под напряжением $U$. Откуда минус?

По условию задачи $U_B$ определяется как напряжение в том маленьком-маленьком отрезке между первой и второй парой обкладок. И $U_C$ точно так-же между второй и третью парой обкладок.

И так-же по условию $U_B = - U = - U_C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 22:18 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
У $U_B$ - знак зависит от того в какую сторону двигаться. Если двигаться через промежутки в одну сторону, то конечно, $U_B = - U_C$
А далее какая-то странная трактовка.
1. Обычно, когда указывают какое-то напряжение в точке, например, $U(t)$, то подразумевают разницу потенциалов между этой точкой и "общим" проводом или заземлением.
2. Ко второй паре обкладок приложено напряжение $U(t)$, крайние пары обкладок заземлены. Значит $U(t)$ - это разница потенциалов между второй парой обкладок и любой крайней.
3. Если $U(t) > 0$, то это означает, что электрон влетает из области с низким потенциалом (с нулевым) потенциалом в область с высоким потенциалом, а потом опять в область с низким (с нулевым) потенциалом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 22:31 
Аватара пользователя


12/02/20
275
Сейчас пришел к правильному ответу $t = \frac{a + b}{v_0} + \frac{U}{U_0} \frac{a}{2 v_0}$

Теперь приходит самая увлекательная часть задачи, когда нужно подобрать такую зависимость $U(t) $ чтобы все электроны одновременно достигли точки $D$ при $a \ll b$ и $\left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение07.06.2021, 22:50 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
profilescit
То есть время пролета увеличилось. А значит электрон таки сначала тормозится, а потом разгоняется, при положительном $U(t)$. Не может так быть.

Ну да ладно.
Обратите внимание, что если $U(t)$ не константа, то скорость электрона совсем не обязана равняться начальной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение08.06.2021, 02:42 


17/10/16
1741
Тут речь о трех отрезках трубы, два крайних - под нулевым потенциалом, а средний - под положительным.

Чтобы решить задачу фокусировки, нужно, видимо, задаться испущенной шириной пакета электронов и подобрать профиль напряжения так, чтобы он имел нулевую ширину в точке $d$. Если взять потенциал средней трубы постоянным и достаточно большим, то можно любой пакет электронов целиком "сжать" внутрь участка $a$ до любой малой ширины, и пока он летит внутри $a$ - снять напряжение. Это будет не фокусировка, а сжатие пучка сильным торможением. Не совсем то, что нужно, ведь нам интересно сохранить энергию пучка.

Фокусировка связана больше не с временной задержкой электронов на участке $a$, а с немного разными скоростями электронов на выходе из $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение08.06.2021, 06:33 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
EUgeneUS в сообщении #1521690 писал(а):
Обратите внимание, что если $U(t)$ не константа, то скорость электрона совсем не обязана равняться начальной.

Не дописал фразу до конца вчера :roll:
Имелась в виду скорость электрона на выходе из устройства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение09.06.2021, 19:51 
Аватара пользователя


12/02/20
275
Пусть в момент времени $t$ электрон входит в первый зазор, тогда $v_1 = \sqrt{\frac{2}{m}(U_0 - U(t))}$ и время пролета первой второй обкладки $t_1 = \frac{a}{v_1}$

Уже после пролета второго зазора, скорость будет $\sqrt{\frac{2}{m}(U_0 - U(t) + U(t + t_1))}$ и время пролета расстояния до детектора будет $t_2 = \frac{b}{v_2}$


Общее время полета будет $ \tau = \frac{a}{v_1} + \frac{b}{v_2}$ и является в общем случае функцией от начального момента времени $t$. Но раз уж говорят что это время должно быть одинаково для всех электронов, нужно поставить условие $\frac{\partial \tau}{\partial t} = 0$?


И как-то решить это дела учтя что $a \ll b$ и $\left\lvert U(t)\right\rvert \ll U_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение09.06.2021, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4566
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1521963 писал(а):
И как-то решить это
Прежде чем очертя голову бросаться что-то решать, есть смысл подумать, что мы хотим иметь в ответе. Пусть наши электроны одновременно, но с разными скоростями, стартуют из точки $A.$ Мы хотим, что бы в точку $D$ они прилетели одновременно, несмотря на различие начальных скоростей. Ваши предложения? (IMHO, нарисованная машинка, так как она нарисована, работать не будет, но, возможно, я ошибаюсь.)

-- 09.06.2021, 20:44 --

Не, вроде можно сделать так, что будет работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Временная фокусировка
Сообщение09.06.2021, 20:49 
Аватара пользователя


11/12/16
10531
уездный город Н
amon в сообщении #1521978 писал(а):
Пусть наши электроны одновременно, но с разными скоростями, стартуют из точки $A.$


Я понял наоборот: электроны стартуют из точки $A$ (точнее, влетают в машинку) с одинаковой скоростью, которая определяется разгонным напряжением $U_0$, но стартуют в разное время.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group