Функционально-дифференциальное уравнение - 2

[id]

Найти все определенные на $(0,\infty)$ дважды дифференцируемые функции $f(x)$ такие, что $f'(x) > 0$ и $f(f'(x)) = -f(x)$

// Легко проверить, что $f'(x)$ монотонно убывает, что в некоторой точке $f(x_0) = 0$. Так же легко проверить, что функция вида $f(x) = ln(x)$ удовлетворяют этому условию, но пока не получилось доказаться, что этими ф-ями класс решений исчерпывается.

Если продифференциировать тождество по x и взять $g(x) = f'(x)$, то получится дифференциальное уравнение $g(g(x))*g'(x) = -g(x)$, из которого у меня ничего полезного извлечь не получилось.

В каком направлении думать?

[redhat]

Вы очень много вывешиваете функционально-дифференциальных уравнений, а где Вы их берете, сли не секрет, откуда они пришли?

[id]

redhat
Нет, конечно, не секрет: это задача со всесоюзной по математике ( технической, кажется ), конкретнее - вот тут под №11. Тренируюсь так.

[Mikhail Sokolov]

Обозначим $g(x)=f'(x)$. Подставив в уравнении вместо $x$ переменную $g(x)$ ($g(x)>0$, поэтому все хорошо), получим: $f(g(g(x)))=f(x)$. Поскольку $f$ строго монотонна, то отсюда следует, что
$g(g(x))=x$ (*).
Продифференцируем первоначальное уравнение по $x$, получим: $g(g(x))g'(x)=-g(x)$. Подставив сюда (*), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $xg'(x)=-g(x)$ относительно функции $g(x)=f'(x)$...

[Профессор Снэйп]

Да вроде несложно.

По условию имеем $f(y) = -f(f'(y))$ для любого $y \in (0,+\infty)$. Подставляя сюда $y = f'(x)$, получаем $f(f'(x)) = -f(f'(f'(x)))$. Левая часть равенства равна $-f(x)$. Значит, $f(x) = f(f'(f'(x)))$. Так как $f$ монотонно возрастает, то она инъективна и, значит, $f'(f'(x)) = x$.

Далее, дифференцируя равенство $f(x) = -f(f'(x))$, имеем $f'(x) = -f'(f'(x)) f''(x) = -xf''(x)$. Отсюда

$$ -\frac{1}{x} = \frac{f''(x)}{f'(x)} = \left( \ln f'(x) \right)' $$

Интегрируя обе части равенства, получаем

$$ \ln \frac{1}{x} = - \ln x = \ln f'(x) + C, $$

$$ \frac{1}{x} = e^C \cdot f'(x) $$

и

$$ f'(x) = \frac{D}{x}, $$

где $D = e^{-C}$ --- некоторая положительная константа. Интегрируя, в свою очередь, это равенство, имеем

$$ f(x) = D \ln x + E, $$

где $E$ --- некоторая константа из $\mathbb{R}$. Теперь

$$ f(f'(x)) = D \ln \frac{D}{x} + E = D(\ln D - \ln x) + E = -D \ln x + (E + D \ln D) $$

С другой стороны,

$$ f(f'(x)) = -f(x) = -D \ln x - E $$

Значит, $E + D \ln D = -E$, $E = -D \ln D / 2$ и все решения задачи даются формулой

$$ f(x) = D \ln x - \frac{D \ln D}{2} = \frac{\ln F x}{F^2}, $$

где $F = 1/\sqrt{D}$ --- произвольная положительная константа.

Добавлено спустя 34 секунды:

Упс!.. Опередили

[id]

Mikhail Sokolov
Профессор Снэйп
Спасибо, разобрался!