Длинная линия

[DimaM]

Особой олимпиадности нет, просто задачка.

Источник с постоянной ЭДС $\cal{E}$ подключен к сопротивлению $R$ с помощью длинной линии, состоящей из двух шин ширины $a$, расстояние между которыми $b\ll a$. Длина линии гораздо больше $L\gg a$. Какие процессы будут происходить в системе после внезапного отключения источника? Сопротивлением шин и краевыми эффектами пренебречь.

-- 09.06.2021, 18:07 --

Можно вместо двухшинки взять коаксиал.

[destructor]

Вероятно будет спектр затухающих колебаний с первой гармоникой на длине волны $ 4 \dot L $
Можно рассматривать как четверть-волновый резонатор с потерями.

[realeugene]

В общем случае в момент отключения источника изменится напряжение на левом конце линии, но не до нуля. Побежит степунька напряжения вправо. Отразившись от несогласованной нагрузки побежит другая ступенька обратно влево. Отразившись от левого конца побежит опять ступенька вправо. И так далее будут мотаться ступеньки, экспоненциально затухая, пока вся запасённая в линии исходно энергия не рассеится на резисторе.

Чтобы посчитать аналитически, нужно прикинуть погонную ёмкость длинной линии по формуле плоского конденсатора, погонную индуктивность исходя из того, что скорость волны в вакууме должна быть равна скорости света, посчитать характеристический импеданс линии из найденных погонных индуктивности и ёмкости, разложить исходные напряжения и ток на прямую и обратные волны, а затем скачком заменить прямую волну на обратную волну, отраженную от образовавшегося разрыва, и записать ряд по отражениям ступенек от краёв.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1522231 писал(а):

Чтобы посчитать аналитически, нужно прикинуть погонную ёмкость длинной линии по формуле плоского конденсатора, погонную индуктивность исходя из того, что скорость волны в вакууме должна быть равна скорости света, посчитать характеристический импеданс линии из найденных погонных индуктивности и ёмкости, разложить исходные напряжения и ток на прямую и обратные волны, а затем скачком заменить прямую волну на обратную волну, отраженную от образовавшегося разрыва, и записать ряд по отражениям ступенек от краёв.

Можно проще: выбрать контуры, охватывающие фронт, и записать закон Фарадея и теорему Стокса в интегральной форме. Отсюда сразу получим и скорость, и напряжение за фронтом. Потом проделать то же самое для отраженной волны.
С нормальным осциллографом все это видно (конечно, стоит взять коаксиальный кабель, но принципиально там то же самое).

[realeugene]

DimaM в сообщении #1522282 писал(а):

Отсюда сразу получим и скорость

Зачем её получать? Скорость в длинной линии равна скорости света. Наоборот, через скорость и ёмкость считают погонную индуктивность. Так проще. А напряжение за фронтом определяется соотношением импеданса линии и сопротивления нагрузки на дальнем конце.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1522355 писал(а):

Зачем её получать? Скорость в длинной линии равна скорости света.

Сие знание не всем дано свыше. А получается скорость достаточно элементарно, и я не вижу причины не проделать этих вычислений.

realeugene в сообщении #1522355 писал(а):

Наоборот, через скорость и ёмкость считают погонную индуктивность.

Индуктивность (если она нужна) вычисляется примерно настолько же элементарно, как емкость.

realeugene в сообщении #1522355 писал(а):

А напряжение за фронтом определяется соотношением импеданса линии и сопротивления нагрузки на дальнем конце.

Мне казалось, с дидактической точки зрения, что лучше обойтись без введения новых понятий, где можно обойтись старыми. Как раз из решения возникает волновое сопротивление (aka импеданс) и то самое отношение.

-- 16.06.2021, 11:26 --

(Мое решение)

Вложение:

ac_sem5n2res.png [ 11.33 Кб | Просмотров: 2035 ]

До отключения источника в цепи течет электрический ток $,I=\dfrac{\cal E}{R}$, создающий между пластинами магнитное поле с индукцией $\,B=\mu_0\dfrac{I}{a}$. Также между пластинами существует электрическое поле $\,E=\dfrac{\cal E}{b}$.

После отключения источника ток в непосредственной близости к нему обращается в нуль. Также обращается в нуль магнитное поле, а электрическое изменяется до нового значения $\,E'$. Вдали от края поля прежние. Изменения будут распространяться в виде волны со скоростью $\,V$. Рассмотрим контур высоты $\,l$, расположенный перпендикулярно шинам и захватывающий фронт волны и запишем для него закон Фарадея (верхний рисунок)

$$\displaystyle\oint{\bf E}\cdot{\bf dl}=(E-E')l=-\dfrac{d\Phi}{dt}=BVl=\mu_0HVl\quad\Rightarrow\quad E-E'=\mu_0HV. \qquad (1)$$

Далее возьмем контур, параллельный шинам, и запишем уравнение для тока смещения (нижний рисунок)

$$\displaystyle\oint{\bf H}\cdot{\bf dl}=Hl=\dfrac{d}{dt}\int{\bf D}\cdot{\bf dS}=\varepsilon_0(E-E')Vl\quad\Rightarrow\quad H=\varepsilon_0(E-E')V. \qquad (2)$$

Перемножив уравнения (1) и (2) видим, что нетривиальные решения возможны только при $\,V^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0}=c^2$, то есть волна распространяется со скоростью света. Подставив $\,V\,$ в одно из уравнений, получим

$$E'=E\left(1-\dfrac{b}{Ra}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\right)=\dfrac{I}{b}(R-R_w).$$

Величина $\,R_w=\dfrac{b}{a}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\dfrac{b}{a}R_0\,$ называется волновым сопротивлением, $\,R_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi$ Ом -- «сопротивление вакуума».

В случае $\,R=R_w\,$ нагрузка называется согласованной, при этом $\,E'=0$. При $\,R\ne R-w\,$ нагрузка несогласованная, $\,E'\ne 0$, и возникает отраженная волна, которая идет влево, затем отражается от свободного конца, идет вправо и т.д.

[AnatolyBa]

Мне кажется, проблема этой задачи в целевой аудитории. Тот кто знает про длинные линии будет ее решать (если будет) как realeugene. И никаких хитростей придумывать не будет.
Тот, кто знает уравнения Максвелла (в интегральной форме), но ничего не знает про длинные линии (а много ли таких?) должен как-то вывести законы движения волны по линии. Например, так, как предлагаете вы. Но. Вы используете знание о том, что волна распространяется в виде фронта без искажения, расплывания и т. д. Т. е. ищете и находите решение уравнений Максвелла в строго определенной форме.
Насколько это очевидно/легко для человека не знающего о распространении волн? Я не знаю. Мне кажется, что это сложно.

[DimaM]

AnatolyBa в сообщении #1522893 писал(а):

Мне кажется, проблема этой задачи в целевой аудитории.

Возможно. Я рассчитывал на физматшкольников или младшекурсников.