2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ортонормированная система в L2
Сообщение06.06.2021, 17:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4131
Пусть $\{\omega_k(x)\}$ -- полная ортонормированная система в $L_2([a,b])$. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^\infty\omega_k^2(x)=+\infty$ почти всюду на $[a,b]$. (источник задачи: И. П. Натансон Теория функций вещественной переменной, задачи к главе VII)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение07.06.2021, 05:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5921

(Оффтоп)

Предположим, что неверно. Тогда существует $M>0$ и подмножество положительной меры $X\subset [a,b]$, такое что
$$
\sum\limits_{k=1}^\infty\omega_k^2(x)<M,\quad\forall x\in X.
$$
Обозначим через $\chi$ индикаторную функцию множества $X$, и тем же символом оператор умножения на неё (который будет ортогональным проектором на бесконечномерное подпространство). Рассмотрим функцию
$$
a(x,y)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}  \chi(x)\omega_k(x)\omega_k(y)\chi(y),
$$
которая существует в силу неравенства КБШ и удовлетворяет $|a(x,y)|\le M$. Тогда интегральный оператор с ядром $a(x,y)$ компактен. С другой стороны прямым вычислением показываем, что он равен оператору $\chi$, который не компактен.

У Натансона, скорее всего, подразумевалось другое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 05:13 
Заслуженный участник


13/12/05
4131
g______d в сообщении #1521507 писал(а):
С другой стороны прямым вычислением показываем, что он равен оператору $\chi$, который не компактен

У меня не получается показать. Множитель $\chi(x)$ мешается. Без него получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 05:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5921
Padawan в сообщении #1521739 писал(а):
Без него получается.


Если без него получается, то с ним тоже должно, т. к. $\chi^2=\chi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 06:03 
Заслуженный участник


13/12/05
4131
Не понимаю, что Вы хотите сказать этим. Идемпотентный оператор? Я просто беру вычисляю интеграл
$$
\int_a^b a(x,y)f(x)dx
$$
Представляю в него $a(x,y)$ и $f(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty c_j\omega_j(x)$. И если множителя $\chi(x)$ нет, можно воспользоваться ортонормальностью $\int\limits_a^b\omega_k(x)\omega_j(x)dx=\delta_{kj}$. А с множителем $\chi(x)$ не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 06:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5921
Padawan в сообщении #1521743 писал(а):
А с множителем $\chi(x)$ не получается.


Множитель $\chi(x)$ — это умножение справа на оператор $\chi$. Обозначим через $B$ оператор с ядром $a(x,y)$ без множителя $\chi(x)$. Вы показали, что $B=\chi$. Но тогда $B\chi=\chi^2=\chi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 06:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4131
g______d в сообщении #1521744 писал(а):
Обозначим через $B$ оператор с ядром $a(x,y)$ без множителя $\chi(x)$.

Почему он существует? Вдруг ряд расходится и ядра нет?

-- Вт июн 08, 2021 08:21:30 --

Вроде понял. Просто надо написать $\chi (x)f(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty c_j\omega_j(x)$. Чуть позже напишу свое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 06:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5921
Padawan в сообщении #1521745 писал(а):
Почему он существует? Вдруг ряд расходится и ядра нет?


Да, тут есть тонкость (я писал в предположении, что Вы этим пользовались). Сразу не очевидно.

Да, другой вариант, как Вы и сказали, — записать $f=\chi f + (1-\chi)f$ и подействовать на каждое слагаемое отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 07:46 
Заслуженный участник


22/11/10
1177
Можно чууууууууууть проще. Пусть $f(x)$ некая функция на том самом множестве $X_M$. Тогда
$$
(f,f) = \sum (f,w_k)^2. 
$$
В интегралах это выглядит так
$$
\int \limits_{X_M}f^2 \,dx = \sum \int \limits_{X_M}\,dx \int \limits_{X_M} f(x)f(y)w_k(x)w_k(y) \, dy.
$$
Откуда сразу же получаем
$$
\int \limits_{X_M}f^2 \,dx  \leqslant M \left (\int \limits_{X_M}|f(x)| \,dx\right )^2.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 17:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4131
Мое решение.
Пусть $\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)<+\infty$ на множестве положительной меры. Тогда существует $M>0$ и множество положительной меры $X\subset [a,b]$ такое, что $\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)<M$ для всех $x\in X$. Возьмём подмножество $E\subset X$ положительной меры такой маленькой, чтобы $0<\mu(E)<1/M$ (можно взять $E=[a,c]\cap X$ для некоторой $c\in [a,b]$). Пусть $g(x)=\chi_E(x)$ -- характеристическая функция этого множества. Норма функции $g$ в $L_2([a,b])$ равна $\|g\|=\sqrt{\mu(E)}$. Пусть $g(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\omega_k(x)$ в $L_2$. Тогда по неравенству Коши-Буняковского и равенству Парсеваля имеем для любого $x\in E$
$$
\left|\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\omega_k(x)\right|^2\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty c^2_k\cdot\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)=\|g\|^2\cdot\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)<\mu(E)M<1
$$
Отсюда, во-первых, ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\omega_k(x)$ сходится всюду на $E$, а во-вторых, так как он сходится на $E$ почти всюду к $g(x)=1$, получаем для почти всех $x\in E$ неравенство $1<1$. Противоречие.

По-сути, это частный случай доказательства sup-а. Если в его формуле взять $f(x)=\chi_E(x)$, где $E\subset X$, получится $\mu(E)\leqslant M\mu(E)^2$, что при маленьких положительных $\mu(E)$ неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение08.06.2021, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5921
Да, это более явное рассуждение (и видимо ближе к авторскому, поскольку Натансон идёт до функционального анализа). Моральный принцип похож. Если "интегральный" оператор действует как тождественный, у его ядра должна быть сингулярность на диагонали. От противного: если сингулярности на какой-то части диагонали нет, то оператор действует "слабее", чем единичный (тут используется ещё то, что ядро доминируется своей диагональю по КБШ). Можно использовать компактность как чёрный ящик, а можно доказывать напрямую, подбирая функцию, которую он сжимает по норме сколь угодно сильно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение09.06.2021, 04:34 
Заслуженный участник


22/11/10
1177
g______d в сообщении #1521847 писал(а):
Если "интегральный" оператор действует как тождественный, у его ядра должна быть сингулярность на диагонали.

Хм, любопытное соображение. Я действовал более прямолинейно. Имеет место тождество
$$
\delta (x - y) = \sum w_k(x)w_k(y). \eqno(1)
$$
Так что совершенно формально должно быть равенство
$$
\delta (0) = \sum w^2_k(x).
$$
Теперь надо его как-то "обосновать". Очевидно, надо как-то проинтегрировать (1) вдоль диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ортонормированная система в L2
Сообщение09.06.2021, 09:04 


16/04/18
02/07/21
813
Немного в сторону про "сингулярность на диагонали". Дело в том, что с общих позиций представление линейного (в том числе и интегрального) оператора чисто интегралом с ядром универсально для распределений (теорема Шварца), а в скажем пространствах $L_2$ так не любой линейный ограниченный оператор можно представить. А вот если вынести дополнительно вперёд производную - то любой, причём ядро будет тоже из $L_2$ по переменной интегрирования (теорема Карлемана). Можно потренироваться на преобразовании Фурье. Это конечно и без меня все знают.
sup - надеюсь встретимся в конце месяца у вас на защитах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group