Ортонормированная система в L2

[Padawan]

Пусть $\{\omega_k(x)\}$ -- полная ортонормированная система в $L_2([a,b])$. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^\infty\omega_k^2(x)=+\infty$ почти всюду на $[a,b]$. (источник задачи: И. П. Натансон Теория функций вещественной переменной, задачи к главе VII)

[g______d]

(Оффтоп)

Предположим, что неверно. Тогда существует $M>0$ и подмножество положительной меры $X\subset [a,b]$, такое что

$$ \sum\limits_{k=1}^\infty\omega_k^2(x)<M,\quad\forall x\in X. $$

Обозначим через $\chi$ индикаторную функцию множества $X$, и тем же символом оператор умножения на неё (который будет ортогональным проектором на бесконечномерное подпространство). Рассмотрим функцию

$$ a(x,y)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \chi(x)\omega_k(x)\omega_k(y)\chi(y), $$

которая существует в силу неравенства КБШ и удовлетворяет $|a(x,y)|\le M$. Тогда интегральный оператор с ядром $a(x,y)$ компактен. С другой стороны прямым вычислением показываем, что он равен оператору $\chi$, который не компактен.

У Натансона, скорее всего, подразумевалось другое решение.

[Padawan]

g______d в сообщении #1521507 писал(а):

С другой стороны прямым вычислением показываем, что он равен оператору $\chi$, который не компактен

У меня не получается показать. Множитель $\chi(x)$ мешается. Без него получается.

[g______d]

Padawan в сообщении #1521739 писал(а):

Без него получается.

Если без него получается, то с ним тоже должно, т. к. $\chi^2=\chi$?

[Padawan]

Не понимаю, что Вы хотите сказать этим. Идемпотентный оператор? Я просто беру вычисляю интеграл

$$ \int_a^b a(x,y)f(x)dx $$

Представляю в него $a(x,y)$ и $f(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty c_j\omega_j(x)$. И если множителя $\chi(x)$ нет, можно воспользоваться ортонормальностью $\int\limits_a^b\omega_k(x)\omega_j(x)dx=\delta_{kj}$. А с множителем $\chi(x)$ не получается.

[g______d]

Padawan в сообщении #1521743 писал(а):

А с множителем $\chi(x)$ не получается.

Множитель $\chi(x)$ — это умножение справа на оператор $\chi$. Обозначим через $B$ оператор с ядром $a(x,y)$ без множителя $\chi(x)$. Вы показали, что $B=\chi$. Но тогда $B\chi=\chi^2=\chi$.

[Padawan]

g______d в сообщении #1521744 писал(а):

Обозначим через $B$ оператор с ядром $a(x,y)$ без множителя $\chi(x)$.

Почему он существует? Вдруг ряд расходится и ядра нет?

-- Вт июн 08, 2021 08:21:30 --

Вроде понял. Просто надо написать $\chi (x)f(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty c_j\omega_j(x)$. Чуть позже напишу свое решение.

[g______d]

Padawan в сообщении #1521745 писал(а):

Почему он существует? Вдруг ряд расходится и ядра нет?

Да, тут есть тонкость (я писал в предположении, что Вы этим пользовались). Сразу не очевидно.

Да, другой вариант, как Вы и сказали, — записать $f=\chi f + (1-\chi)f$ и подействовать на каждое слагаемое отдельно.

[sup]

Можно чууууууууууть проще. Пусть $f(x)$ некая функция на том самом множестве $X_M$. Тогда

$$ (f,f) = \sum (f,w_k)^2. $$

В интегралах это выглядит так

$$ \int \limits_{X_M}f^2 \,dx = \sum \int \limits_{X_M}\,dx \int \limits_{X_M} f(x)f(y)w_k(x)w_k(y) \, dy. $$

Откуда сразу же получаем

$$ \int \limits_{X_M}f^2 \,dx \leqslant M \left (\int \limits_{X_M}|f(x)| \,dx\right )^2. $$

[Padawan]

Мое решение.
Пусть $\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)<+\infty$ на множестве положительной меры. Тогда существует $M>0$ и множество положительной меры $X\subset [a,b]$ такое, что $\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)<M$ для всех $x\in X$. Возьмём подмножество $E\subset X$ положительной меры такой маленькой, чтобы $0<\mu(E)<1/M$ (можно взять $E=[a,c]\cap X$ для некоторой $c\in [a,b]$). Пусть $g(x)=\chi_E(x)$ -- характеристическая функция этого множества. Норма функции $g$ в $L_2([a,b])$ равна $\|g\|=\sqrt{\mu(E)}$. Пусть $g(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\omega_k(x)$ в $L_2$. Тогда по неравенству Коши-Буняковского и равенству Парсеваля имеем для любого $x\in E$

$$ \left|\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\omega_k(x)\right|^2\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty c^2_k\cdot\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)=\|g\|^2\cdot\sum\limits_{k=1}^\infty \omega^2_k(x)<\mu(E)M<1 $$

Отсюда, во-первых, ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\omega_k(x)$ сходится всюду на $E$, а во-вторых, так как он сходится на $E$ почти всюду к $g(x)=1$, получаем для почти всех $x\in E$ неравенство $1<1$. Противоречие.

По-сути, это частный случай доказательства sup-а. Если в его формуле взять $f(x)=\chi_E(x)$, где $E\subset X$, получится $\mu(E)\leqslant M\mu(E)^2$, что при маленьких положительных $\mu(E)$ неверно.

[g______d]

Да, это более явное рассуждение (и видимо ближе к авторскому, поскольку Натансон идёт до функционального анализа). Моральный принцип похож. Если "интегральный" оператор действует как тождественный, у его ядра должна быть сингулярность на диагонали. От противного: если сингулярности на какой-то части диагонали нет, то оператор действует "слабее", чем единичный (тут используется ещё то, что ядро доминируется своей диагональю по КБШ). Можно использовать компактность как чёрный ящик, а можно доказывать напрямую, подбирая функцию, которую он сжимает по норме сколь угодно сильно...

[sup]

g______d в сообщении #1521847 писал(а):

Если "интегральный" оператор действует как тождественный, у его ядра должна быть сингулярность на диагонали.

Хм, любопытное соображение. Я действовал более прямолинейно. Имеет место тождество

$$ \delta (x - y) = \sum w_k(x)w_k(y). \eqno(1) $$

Так что совершенно формально должно быть равенство

$$ \delta (0) = \sum w^2_k(x). $$

Теперь надо его как-то "обосновать". Очевидно, надо как-то проинтегрировать (1) вдоль диагонали.

[novichok2018]

Немного в сторону про "сингулярность на диагонали". Дело в том, что с общих позиций представление линейного (в том числе и интегрального) оператора чисто интегралом с ядром универсально для распределений (теорема Шварца), а в скажем пространствах $L_2$ так не любой линейный ограниченный оператор можно представить. А вот если вынести дополнительно вперёд производную - то любой, причём ядро будет тоже из $L_2$ по переменной интегрирования (теорема Карлемана). Можно потренироваться на преобразовании Фурье. Это конечно и без меня все знают.
sup - надеюсь встретимся в конце месяца у вас на защитах.