Комбинаторика, число комбинаций цифр для пароля

[prrrr]

Здравствуйте!

Задача:
Загадан $10$-ти значный пароль. Сумма первых пяти цифр пароля — $36$, а сумма следующих пяти цифр пароля — $37$, причем первая цифра точно не $0$. Для какой пятерки цифр число возможных комбинаций цифр больше, для первой или для второй?

Я рассуждал так:
Больше возможных комбинаций цифр у первой пятерки цифр, т.к. во второй пятерке всегда одна цифра не может быть меньше $1$ (равна $0$), что ограничивает возможное количество комбинаций. В первой же пятерке только первая цифра не может быть равна $0$.
Посчитал возможное количество комбинаций. Для первых $5$-ти цифр с суммой $36$ получилось $714$ возможных комбинаций (с учётом того, что первая цифра не может быть $0$). Для вторых $5$-ти цифр с суммой $37$ получилось $495$ возможных комбинаций. Но нужно не просто посчитать, а теоретически обосновать. Пока не понимаю как.. Подскажите пожалуйста.

[svv]

prrrr в сообщении #1521298 писал(а):

первая цифра точно не $0$

Первая цифра первой пятёрки (т.е. всего пароля)? Второй пятёрки (перед этим говорилось о ней)? Обеих пятёрок?

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1521298 писал(а):

причем первая цифра точно не $0$

А если ноль? Что тогда?

-- 05.06.2021, 23:29 --

svv
И правда, а может, второй? Тогда задача, кажется, чуть проще решается

[prrrr]

svv в сообщении #1521361 писал(а):

prrrr в сообщении #1521298 писал(а):

первая цифра точно не $0$

Первая цифра первой пятёрки (т.е. всего пароля)? Второй пятёрки (перед этим говорилось о ней)? Обеих пятёрок?

Да, первая цифра первой пятерки.

Получается, что во второй пятерке при переборе вариантов будут исключены все 5-ти значные числа, в которых есть хотя бы один ноль, а в первой пятерке будут исключены все числа у которых будет больше одного ноля (один ноль может быть).
Для первой пятерки минимально возможное число - 18999, максимально возможное - 99981 (сумма цифр 36).
Для второй пятерки минимально возможное число - 19999, максимально возможное - 99991 (сумма цифр 37).

-- 06.06.2021, 10:00 --

xagiwo в сообщении #1521364 писал(а):

prrrr в сообщении #1521298 писал(а):

причем первая цифра точно не $0$

А если ноль? Что тогда?

-- 05.06.2021, 23:29 --

svv
И правда, а может, второй? Тогда задача, кажется, чуть проще решается

Во второй пятерке ноля быть не может, т.к. тогда невозможно будет получить сумму цифр равную $37$.

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1521404 писал(а):

Во второй пятерке ноля быть не может, т.к. тогда невозможно будет получить сумму цифр равную $37$.

Это так. Ну и что можно сделать с набором пятизначных чисел, у каждого из которых сумма цифр 37 и все цифры ненулевые?
(эх, наверное, слишком сильная подсказка)

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1521406 писал(а):

prrrr в сообщении #1521404 писал(а):

Во второй пятерке ноля быть не может, т.к. тогда невозможно будет получить сумму цифр равную $37$.

Это так. Ну и что можно сделать с набором пятизначных чисел, у каждого из которых сумма цифр 37 и все цифры ненулевые?
(эх, наверное, слишком сильная подсказка)

Ох, если бы))

Нужно посчитать количество таких чисел, а оно будет равно количеству возможных перестановок 5ти цифр в сумме дающих 37. Плюс это количество нужно сравнить с количеством возможных перестановок цифр из первой пятёрки, в которой 0 может быть на 4х позициях из 5ти.

Теоретически понимаю, что т.к. в первой пятёрке 4 цифры из 5ти могут принимать 10 значений от 0 до 9, плюс одна цифра 9 значений от 1 до 9, а во второй пятёрке все 5 цифр могут принимать значения от 1 до 9, то в первой пятёрке возможных комбинаций больше. Но нужно ли считать все комбинации? Или сумма цифр дана только для того, чтобы сделать выводы о возможных значениях цифр в обеих пятерках..

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1521418 писал(а):

в первой пятёрке 4 цифры из 5ти могут принимать 10 значений от 0 до 9, плюс одна цифра 9 значений от 1 до 9

и сумма цифр — 36

prrrr в сообщении #1521418 писал(а):

во второй пятёрке все 5 цифр могут принимать значения от 1 до 9

но сумма цифр — 37. Вот бы во второй пятёрке сумма цифр тоже была 36, тогда с такими ограничениями на цифры сразу было бы понятно, где больше вариантов! Но я несу чепуху — где это видано, чтобы число с суммой цифр 37 вдруг стало числом с суммой цифр 36?

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521298 писал(а):

Для первых $5$-ти цифр с суммой $36$ получилось $714$ возможных комбинаций (с учётом того, что первая цифра не может быть $0$).

Ну то есть $\binom{13}4-1$

prrrr в сообщении #1521298 писал(а):

Для вторых $5$-ти цифр с суммой $37$ получилось $495$ возможных комбинаций.

Ну то есть $\binom{12}4$

prrrr, как Вы думаете, случайно ли получились именно такие числа?

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1521444 писал(а):

но сумма цифр — 37. Вот бы во второй пятёрке сумма цифр тоже была 36, тогда с такими ограничениями на цифры сразу было бы понятно, где больше вариантов! Но я несу чепуху — где это видано, чтобы число с суммой цифр 37 вдруг стало числом с суммой цифр 36?

Нужно вычесть единицу из одного из разрядов.. Но как это поможет сразнить число возможных кобинаций для первой и второй пятерок... Второй день голову ломаю, немогу понять никак((

-- 07.06.2021, 21:35 --

Yadryara в сообщении #1521604 писал(а):

prrrr, как Вы думаете, случайно ли получились именно такие числа?

Думааю,что нет. Если раскрыть, то получается $\frac{13!}{(13-4)!4!}-1$? Тогда получается, что 13 возможных сочетаний цифр дающих в сумме 36 распределены по 4м позициям в числе?

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521663 писал(а):

Тогда получается, что 13 возможных сочетаний цифр дающих в сумме 36 распределены по 4м позициям в числе?

Что это значит? Поясните на примере, пожалуйста.

Комбинаторика интересная штука, да. Я Вам намекал, что для определённых крайних сумм существует некая биекция.

Скажите, сколько вариантов собрать из пяти цифр сумму $38$ ? А суммы $7$, $8$ и $9$ ?

[prrrr]

Yadryara в сообщении #1521740 писал(а):

prrrr в сообщении #1521663 писал(а):

Тогда получается, что 13 возможных сочетаний цифр дающих в сумме 36 распределены по 4м позициям в числе?

Что это значит? Поясните на примере, пожалуйста.

Комбинаторика интересная штука, да. Я Вам намекал, что для определённых крайних сумм существует некая биекция.

Скажите, сколько вариантов собрать из пяти цифр сумму $38$ ? А суммы $7$, $8$ и $9$ ?

Я перебрал все значения для $5$ти цифр, дающих в сумме $37$, действительно получилось ровно $12$ наборов $(1,9,9,9,9; 2,8,9,9,9; и т.д.)$. Количество возможных паролей равно количеству перестановок этих цифр. Я думал, что по $5$ти местам, не понимаю почему по $4$м? По идее должно быть: $C_{12}^5$?

Для суммы $38$ у меня получается $11$ вариантов (если не учитывать варианты с $0$), для $7$, $8$ и $9$ получилось $2$, $3$ и $5$ вариантов соответственно.

[Yadryara]

prrrr, Вы меня не поняли. Получше заполните табличку:

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \ Сумма 5 цифр & Вариантов & ? \\ \hline \ 0 & 1 & \\ \hline \ 1 & 5 & \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 36 & 715 & \\ \hline \ 37 & 495 & \\ \hline \ 38 & & \\ \hline \ 39 & & \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 45 & & \\ \hline \end{tabular}

[prrrr]

Yadryara в сообщении #1521778 писал(а):

prrrr, Вы меня не поняли. Получше заполните табличку

Заполнил, получается нарастающая и спадающая последовательность с максимумом при суммах 22 и 23 и симметричная, относительно этих сумм:
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \ Сумма 5 цифр & Вариантов & ? \\ \hline \ 0 & 1 & \\ \hline \ 1 & 5 & \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 7 & 330 & \\ \hline \ 8 & 495 & \\ \hline \ 9 & 715 & \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 36 & 715 & \\ \hline \ 37 & 495 & \\ \hline \ 38 & 330 & \\ \hline \ 39 & 210 & \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 45 & 1 & \\ \hline \end{tabular}

Но я опять таки посчитал в лоб, как теорию под это подвести не понимаю((

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521787 писал(а):

Заполнил, получается нарастающая и спадающая последовательность с максимумом при суммах 22 и 23 и симметричная, относительно этих сумм

Да. И это норма. Нам достаточно знать сумму и количество цифр в числе и мы уже знаем в какую сторону и, в некоторых случаях, легко посчитать насколько изменится наше количество вариантов при переходе от одной суммы к другой.

Сумму 5 цифр обозначу $s$ и немного заполню 3-й столбец.

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \ s & Вариантов & $\binom{s+4}4$ \\ \hline \ 0 & 1 & 1 \\ \hline \ 1 & 5 & 5 \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 7 & 330 & 330 \\ \hline \ 8 & 495 & 495 \\ \hline \ 9 & 715 & 715 \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 36 & 715 & \\ \hline \ 37 & 495 & \\ \hline \ 38 & 330 & \\ \hline \ 39 & 210 & \\ \hline \ ... & & \\ \hline \ 45 & 1 & \\ \hline \end{tabular}

[prrrr]

Yadryara в сообщении #1521789 писал(а):

Да. И это норма. Нам достаточно знать сумму и количество цифр в числе и мы уже знаем в какую сторону и, в некоторых случаях, легко посчитать насколько изменится наше количество вариантов при переходе от одной суммы к другой.

Сумму 5 цифр обозначу $s$ и немного заполню 3-й столбец.

Спасибо! Пробовал понять закономерности, но не смог. Но я пока все равно не понимаю, почему $s+4$ и почему основание $4$?((
Пробовал применить $\binom{s+4}{4}=C_{s+4}^4$ к суммам от $10$ и выше, но получается, что в этом случае закономерность не работает..