диофантовы уравнения в НОД-области

[beroal]

Это просьба проверить рассуждение в алгебраической теории чисел. Рассуждение на элементарном уровне, но выходит за рамки известных мне учебников.

Чтобы решить диофантово уравнение $x^3 = y^2 + 5$, можно попробовать использовать кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ и следующую теорему. В факториальной области, если $a$ и $b$ взаимно простые и $ab$ ассоциировано с некоторой $n$-ной степенью, то $a$ ассоциировано с некоторой $n$-ной степенью и то же самое для $b$. Дальше мы обнаруживаем, что $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ не является факториальной областью, и этот метод решения не работает.

Во всех учебниках работают только с факториальными областями. Я могу доказать теорему выше для НОД-области (GCD domain). Скорее всего, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ также не является НОД-областью. Иначе мы бы могли использовать метод решения выше. Не думаю, что авторы настолько наивны, что этого не заметили. Верно ли, что $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ также не является НОД-областью?

Я попробовал доказать это так. Известно два разложения $6$ на неприводимые попарно неассоциированные множители: $2\times 3$, $(1+\sqrt{-5})\times (1-\sqrt{-5})$. На это можно посмотреть по другому: $2$ не является простым, потому что $2\mid 6$, $2\nmid 1+\sqrt{-5}$ и $2\nmid 1-\sqrt{-5}$. Проанализировав доказательство того, что в НОД-области любой неприводимый прост, я нашёл, что оно ломается, когда надо взять $\gcd(6, 2\times (1-\sqrt{-5}))$. Допустим, $d$ есть такой НОД. $\operatorname{N}(6) = 2^2\times 3^2$, $\operatorname{N}(2\times (1-\sqrt{-5})) = 2^3\times 3$, поэтому норма любого общего делителя $6$ и $2\times (1-\sqrt{-5})$ делит $2^2\times 3$. $2$ и $1-\sqrt{-5}$ являются общими делителями $6$ и $2\times (1-\sqrt{-5})$, а также $\operatorname{N}(2) = 2^2$, $\operatorname{N}(1-\sqrt{-5}) = 2\times 3$, поэтому $\operatorname{N}(d)$ делится на $2^2$ и на $2\times 3$, следовательно, на $2^2\times 3$. Таким образом, $\operatorname{N}(d)$ ассоциирована с $2^2\times 3$. Таких $d$ не существует, так как $\operatorname{N}(a+b\sqrt{-5}) \subseteq \{0, 1, 4, 5, 6, 9\}\cup [16, +\infty)$ для любых $a, b\in \mathbb{Z}$.

[nnosipov]

beroal в сообщении #1521597 писал(а):

Верно ли, что $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ также не является НОД-областью?

Верно. Достаточно привести пример двух элементов из $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, которые не имеют наибольшего общего делителя (что Вы, собственно, и сделали). На самом деле, быть НОД-областью и факториальным кольцом --- это одно и то же (при условии, что всякий элемент допускает разложение в произведение простых элементов).

Чтобы спасти ситуацию, привлекают теорию идеалов. Пример с уравнением $x^2+5=y^3$ довольно подробно разобран, например, в книжке M. Pohst "Computational Algebraic Number Theory" (Birkhauser, 1993), см. стр. 1-2.

-- Пн июн 07, 2021 21:09:34 --

Кстати, диофантово уравнение $x^2+5=y^3$ можно решить и элементарным способом.

[beroal]

Спасибо. Я как раз собирался спросить, зачем здесь идеалы. Чтобы понять объяснение примера, мне не хватает знаний по идеалам. Можете посоветовать какой-нибудь учебник? Взять учебник по коммутативной алгебре?

[nnosipov]

beroal в сообщении #1521681 писал(а):

Можете посоветовать какой-нибудь учебник? Взять учебник по коммутативной алгебре?

Вопрос, где про это почитать, непростой, если смотреть на это дело с прикладной точки зрения (т.е., с точки зрения теоретико-числовых задач, в частности, диофантовых уравнений). Пока могу посоветовать старенькую книжку Гекке "Лекции по теории алгебраических чисел", первые пять параграфов главы V. Там рассказывается о делимости идеалов в полях алгебраических чисел и, в частности, доказывается теорема о том, что всякий идеал однозначно разлагается в произведение простых идеалов (которые в общем случае уже не обязаны быть главными). Изложение начинается с разбора примеров разложения на простые элементы в кольце целых чисел поля $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.

Есть, конечно, и более современные изложения (как, например, в "Теории чисел" Боревича и Шафаревича, но там сразу излагается более общая теория дивизоров, которая для полей алгебраических чисел превращается в теорию идеалов). Но с ходу что-то посоветовать не могу, надо вспоминать.

[beroal]

nnosipov в сообщении #1521774 писал(а):

Вопрос, где про это почитать, непростой, если смотреть на это дело с прикладной точки зрения (т.е., с точки зрения теоретико-числовых задач, в частности, диофантовых уравнений).

Разве, кроме решения уравнений в $\mathbb{Z}$ или в $\mathbb{Q}$, есть какие-то приложения этой области? Я не люблю учить без приложений.

Во многих учебниках я заметил такую картину: авторы пишут несколько уравнений с весьма неформальными объяснениями в первой главе, где исторические замечания, а потом шпарят абстрактную алгебру без какой-либо связи с уравнениями. Некоторые авторы держат связь с уравнениями чуть дольше. Милн что-то пытается объяснить на пальцах во «Введении». Основной посыл: доказав уникальное разложение идеалов на простые идеалы, мы «восстановили» уникальное разложение на множители. Но ведь для решения уравнения нужны числа, а не идеалы. Как связать решения и идеалы?

Я скачал уже больше 10 учебников и курсов лекций, везде такая картина. Как студенты-математики учились, когда не было интернета, страшно подумать . В любом случае, спасибо за советы.

Я немного понял пример (5) из вашей книги, потому что там о главных идеалах. В книге «Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem» Ian Stewart и David Tall в конце есть приложение к Великой теореме Ферма. Оно, понятное дело, уже требует знание теории на десятки страниц. Хотелось бы увидеть приложения пораньше.

[beroal]

beroal в сообщении #1521827 писал(а):

Но ведь для решения уравнения нужны числа, а не идеалы. Как связать решения и идеалы?

Пришёл в голову следующий способ использования идеалов. Переносим уравнение

$$x^3 = (y-\sqrt{-5}) (y+\sqrt{-5})$$

в полукольцо идеалов $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ и решаем его там, а именно, находим множество идеалов $\tilde{a}$. $\tilde{a}$ — это множество всех идеалов $I$ таких, что $I^3 = \langle y-\sqrt{-5}\rangle$ для некоторого $y\in \mathbb{Z}$. $\tilde{a}$ параметризует множество решений исходного уравнения. По идее, ещё надо конструктивно описать $\tilde{a}$.