Факторгруппа кольца вычетов по кольцу вычетов

[alex18]

Помогите, пожалуйста, понять, как представить себе $G/H$, где $G=Z/72Z$ и $H=Z/6Z$? Вообще, задание найти порядок элемента 4 в такой $G/H$, интуитивно вроде кажется, что $G/H$ это $Z/12Z$, и порядок 3, но как это формально показать, непонятно.

[nnosipov]

alex18 в сообщении #1521501 писал(а):

как это формально показать, непонятно

По определению.

[alex18]

nnosipov в сообщении #1521503 писал(а):

alex18 в сообщении #1521501 писал(а):

как это формально показать, непонятно

По определению.

По определению порядка факторгруппы порядком $g$ будет минимальный $n$, такой что $g^n \in H$, но $H$ - это совокупность всех классов вычетов по модулю 6, то есть пробегаются все возможные остатки, и тогда такое ощущение, что любой элемент в любом случае принадлежит $H$, так как он имеет какой-то из этих остатков по модулю 6.

[nnosipov]

alex18 в сообщении #1521504 писал(а):

такое ощущение

что Вы не совсем понимаете, из каких элементов состоит $H$ как подгруппа группы $G$. Сколько элементов в $H$? Как они выглядят? Перечислите их.

-- Пн июн 07, 2021 08:23:14 --

alex18 в сообщении #1521501 писал(а):

как представить себе $G/H$, где $G=Z/72Z$ и $H=Z/6Z$?

Имелось в виду $H \cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (иными словами, $H$ --- подгруппа 6-го порядка).

[alex18]

nnosipov в сообщении #1521505 писал(а):

Сколько элементов в $H$? Как они выглядят? Перечислите их.

6 элементов: $6Z, 1+6Z, 2+6Z, 3+6Z, 4+6Z, 5+6Z$.

[nnosipov]

Еще раз:

nnosipov в сообщении #1521505 писал(а):

из каких элементов состоит $H$ как подгруппа группы $G$

Вы все прочитали, что я Вам написал?

[alex18]

nnosipov в сообщении #1521522 писал(а):

Еще раз:

nnosipov в сообщении #1521505 писал(а):

из каких элементов состоит $H$ как подгруппа группы $G$

Вы все прочитали, что я Вам написал?

Подгруппой 6-го порядка в $Z/72Z$ будет ${72Z, 12+72Z, 24+72Z, 36+72Z, 48+72Z, 60+72Z}$.

[nnosipov]

alex18 в сообщении #1521523 писал(а):

Подгруппой 6-го порядка в $Z/72Z$ будет ${72Z, 12+72Z, 24+72Z, 36+72Z, 48+72Z, 60+72Z}$.

Верно. Возьмем теперь элемент $g=4+72\mathbb{Z}$. Ясно, что $g \not\in H$. Верно ли, что $2g \in H$? А $3g \in H$? И чему, таким образом, равен порядок элемента $g+H \in G/H$ (используем аддитивную нотацию)?

[alex18]

nnosipov в сообщении #1521530 писал(а):

И чему, таким образом, равен порядок элемента $g+H \in G/H$ (используем аддитивную нотацию)?

Порядок будет равен 3. Спасибо Вам большое, теперь всё понятно!