Найти сумму

[rightways]

Для каждого натурального $n$ обозначим $u_n$ наибольшее простое число, не превосходящее $n$, а $v_n-$ наименьшее простое число, большее $n$. Вычислите

$$\frac{1}{u_2v_2}+\frac{1}{u_3v_3}+...+\frac{1}{u_{100}v_{100}}$$

[lel0lel]

Бумаги под рукой нет, но, похоже, решается в уме. Записать в виде суммы по простым, в числителях будут стоять разности между двумя соседними простыми. Полученные дроби представляются в виде $\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_{i+1}}$.

[nnosipov]

Это да, но для красивости ответа нужно, чтобы число вида $10^n+1$ оказалось простым. Это так при $n=1$ и $n=2$. Наверное, в oeis есть и другие значения $n$ (в виде степеней двойки).

[Dendr]

Вроде нет.
В комментах к последовательности http://oeis.org/A062397 заявляется, что простые, при соблюдении условий, могут существовать, но на сегодняшний день неизвестны.