Точная грань множества вещественных чисел

[Gecko]

Null в сообщении #1521417 писал(а):

Gecko в сообщении #1521412 писал(а):

то число 0.999 присутствует и в нашем исходном множестве.

Не обязательно.

Было бы интересно посмотреть на такие случаи.

[Null]

Эм, просто $(0;1)/\{0.999\}$?

[Gecko]

Ага, тогда при составлении числа $\overline{x}$ мы доходим до 0.99. И что делать дальше? Выбирать цифру из чисел, начинающихся с 0.99, в частности из тех, которые начинаются с 0.999.... А их, за исключением числа 0.999(0), бесконечно много - есть из чего выбрать!

[Mikhail_K]

Gecko в сообщении #1521422 писал(а):

Выбирать цифру из чисел, начинающихся с 0.99, в частности из тех, которые начинаются с 0.999.... А их, за исключением числа 0.999(0), бесконечно много - есть из чего выбрать!

Да, выбираем из этих чисел, берём у них цифру $9$, присоединяем её к строящемуся из цифр числу, получаем (на этом шаге!) число $0.999$, не принадлежащее исходному множеству.

Ещё раз: в доказательстве параллельно производятся два процесса. Первый процесс - из исходного множества выбрасываются те или иные числа. Этот процесс сам по себе ведёт в никуда - грубо говоря, "в пределе" из множества могут быть выброшены вообще все числа и никакого числа не останется. Второй процесс - строится число $\overline x$, цифра за цифрой, причём его цифры одна за другой выбираются из чисел, получаемых в первом процессе. Это другой процесс! - и его результат вовсе не обязан принадлежать исходному множеству, поскольку даже речи об этом нет: $\overline x$ не выбирается из множества, а строится из цифр.

[Gecko]

Mikhail_K
Спасибо. Вот теперь вроде осознал. Если говорить про множество (0, 1), то можно сказать, что эти два процесса бесконечны. С одной стороны, формируется число $\overline{x} = 0.(9) = 1$, а с другой - отбрасываются элементы множества, из цифр которых формируется это число.

[Mikhail_K]

Gecko
Да, верно.