Равномерная сходимость

[bubu gaga]

Проверьте решение, если не трудно.

Дана последовательность

$$ f_n(x) = \left\{\begin{array}{l, l} 1 & |x| \ge 1 / n \\ n |x| & |x| < 1 / n \end{array} \right. $$

Найти поточечный предел последовательности и определить равномерна ли сходимость к этому пределу

Решение. Пределом будет функция $f(x)$ равная единице всюду за исключением нуля. Размышление такое: не существует $n$ такого, чтобы $f_n(0) \not = 0$. С другой стороны для любого $x \ne 0$ существует $N > |1/x|$ такое, что для любого $n > N$ верно $f_n(x) = 1$.

Выберем произвольную окрестность $\epsilon < 1 / 2$. Нужно доказать, что существует такое $N$, что для любого $n \ge N$ и $x \in \mathbb{R}$ верно $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. Допустим такое $N$ существует, тогда выберем число $x_1 = \frac{1}{2 N}$. Для него верно $f_N(x_1) = 1 / 2$, и $f(x_1) = 1$. Что и требовалось.

Спасибо!

[вздымщик Цыпа]

Да, все верно. Поточечная сходимость есть. Равномерной сходимости нет.

[bubu gaga]

Спасибо! Вот ещё пара заданий на ту же тему.


Упражнение 2. Привести пример двух равномерно сходящихся последовательностей $(f_n)$ и $(g_n)$ таких, чтобы произведение $(f_n \, g_n)$ не сходилось равномерно.

Решение. Возьмём

$$ f_n = g_n = x + \frac{1}{n} $$

Тогда для произведения верно

$$ f_n \, g_n = x^2 + \frac{2 \, x}{n} + \frac{1}{n^2} $$

Тогда для любого $n$ можно взять $x > n / 2$ и следовательно получим, что $f_n(x) \, g_n(x) - f(x) \, g(x) > 1$.


Упражнение 3. Пусть дана поточечная сходимость $f_n \to f$ на компактном множестве $K$. Доказать, что если все $f_n$ и $f$ непрерывны, то сходимость $f_n \to f$ - равномерная

Решение. Пусть дано расстояние $\epsilon > 0$. Нужно доказать, что существует $N$, что для любых $n \ge N$ и $x \in K$ верно $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$.

Шаг 1. Для каждой точки $x_1 \in K$ можно выбрать окрестность $O_{\delta_1}$ такую, что для любой точки этой окрестности $x \in O_{\delta_1}$ верно $|f(x_1) - f(x)| < \epsilon / 3$.

Так же можно найти такое $N_1$ что для любых $n \ge N_1$ выполнялось $|f_n(x_1) - f(x_1)| < \epsilon / 3$

А для $f_{N_1}$ можно выбрать окрестность $O_{\delta_2}$ точки $x_1$ такую, что для любой точки этой окрестности $x \in O_{\delta_2}$ верно $|f_{N_1}(x_1) - f_{N_1}(x)| < \epsilon / 3$.

Шаг 2. Рассмотрим окрестность точки $x_1$ с радиусом $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Для любой точки $x \in O_\delta$ и $n \ge N_1$ выполняется $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$.

Шаг 3. Семейство таких окрестностей образуют открытое покрытие множества $K$. Выберем конечное подпокрытие. Обозначим $N = \max \{ N_1, N_2, N_3, \dots \}$.

Для любого $n \ge N$ и любого $x \in K$ верно $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. Что и требовалось

[Narn]

Упражнение 3 у меня вызывает затруднения. Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно? Что-то я в шаге 2 не понимаю, с чего это для всех $n \ge N_1$ стало выполняться?

[Brukvalub]

Narn в сообщении #152102 писал(а):

Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно?

Да. именно так, без монотонности не пройдет - есть контрпримеры.

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

Да. именно так, без монотонности не пройдет - есть контрпримеры.

А можно этот контрпример, в задании на самом деле была монотонность, я её легкомысленно выкинул

[Narn]

Brukvalub писал(а):

Narn в сообщении #152102 писал(а):

Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно?

Да. именно так, без монотонности не пройдет - есть контрпримеры.

Гелбаум, Олмстед, Контрпримеры в анализе, глава 7, номер 12, с. 102 (нужный нам случай на самом деле - номер 6). Набивать лень

[Brukvalub]

bubu gaga в сообщении #152112 писал(а):

А можно этот контрпример, в задании на самом деле была монотонность, я её легкомысленно выкинул

\[ f_n (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2nx\;,\;0 \le x \le \frac{1}{{2n}}} \\ {2 - 2nx\;,\;\frac{1}{{2n}} \le x \le \frac{1}{n}} \\ {0\;,\;\frac{1}{n} \le x \le 1} \\ \end{array}} \right. \]

(а мне было лень лезть в Гелбаума, и в Олмстеда - тоже лень... )

[bubu gaga]

Спасибо!

Narn писал(а):

Упражнение 3 у меня вызывает затруднения. Вроде бы по теореме Дини там еще монотонность должна быть, иначе условий недостаточно? Что-то я в шаге 2 не понимаю, с чего это для всех $n \ge N_1$ стало выполняться?

$$ |f_n(x) - f(x)| = |f_n(x) - f_n(x_1) + f_n(x_1) - f(x_1) + f(x_1) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(x_1)| + |f_n(x_1) - f(x_1)| + |f(x_1) - f(x)| $$

Но Вы правы, то что среднее слагаемое остаётся в пределах $\epsilon / 3$ ещё не означает что первое не увеличится.

Добавлено спустя 40 минут 4 секунды:

Пример конечно весёлый. С одной стороны для любого $n$ можно найти $x$ такой, что $f_n(x) = 1$. А с другой стороны для любого $x$ можно найти $n$ такое, что $f_n(x) = 0$.