Тепловой обмен в модели вентиляционной шахты

[profilescit]

Рассмотрим упрощённую модель вентиляционной системы в доме. Система состоит из металлической пластины длиной $x$, шириной $y$ и толщиной $d$, разделяющей воздушный канал на две половины, одна для входящего холодного воздуха, а другая – для выходящего тёплого воздуха.
Оба канала имеют постоянную толщину $h$, скорость движения потоков воздуха $v$. Коэфицент теплопроводности металла равен $\sigma$ (мощность теплового потока сквозь единицу площади пластины, при уменьшении температуры на один градус на единицу толщины пластины). Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении равна $c_p$, плотность воздуха $\rho$ (зависимостью от температуры пренебречь). Можно предполагать, что воздух в канале турбулентно перемешивается, т.е. температуры входящего и выходящего воздуха $T_{in}$ и $T_{out}$ зависят только от координаты $x$ (ось x взята параллельно направлению движению воздуха), т.е. $T_{in} = T_{in}(x)$ и $T_{out} = T_{out}(x)$. Найдите температуру $T_2$ входящего воздуха в момент попадания в комнату, если температуры внутри и снаружи равны $T_0$ и $T_1$ соответственно.


Я задачу как понимаю - есть условная вентиляционная шахта, разделенная металлической пластиной на верхнюю и нижнюю часть.
Воздух из комнаты, с температурой $T_0$ попадает в условно верхнюю часть шахты и со скоростью $v$ как-то проходит, попутно отдавая тепло через металлическую пластину нижней части шахты.
Воздух снаружи, с температурой $T_1$ попадает в условно нижнюю часть шахты и с той же скоростью $v$ проходит, получая тепло от металлической пластины и попадая в комнату уже с температурой $T_2$

Если это так - попробую указать ход своих мыслей в решении.

Имеем дело со стационарной ситуацией, когда картинка распределения температур не меняется со временем. А значит металлическую пластину можно рассматривать как постоянный нагреватель, с постоянной мощностью $q$

Рассмотрим тепловой баланс для элемена воздуха $c_p dm \Delta T = q \dt$ где $dm = \rho y h dx$

А значит $c_p \rho y h v \Delta T = q$

Где $\Delta T = T_1 - T_2$ а $q = x y \sigma (T_0 - T_1) / d$

В таком случае получаю ответ $T_2 = T_1 + \frac{x \sigma (T_1 - T_0)}{c_p \rho h v d}$


А это не совсем согласовывается с ответом...

[sergey zhukov]

profilescit
Если верить вашему ответу, то при стремлении скорости воздуха в канале к нулю его температура на входе в комнату $T_2$ стремится к бесконечности, а должна она стремиться к температуре в комнате $T_0$. Что-то не так.

Я бы так подошел к этой задаче про обратноходовый теплообменник. Сначала показал бы, что стационарное распределение температур воздуха по длине в обоих каналах и металлической пластины будет линейным, разность температур потоков в каналах в любом сечении - постоянной, а температура металлической пластины в каждом сечении канала (в среднем слое пластины) будет средней между температурами воздуха в каналах.

Потом подсчитал бы время, в течение которого элемент воздуха с улицы проходит по каналу в комнату, нагреваясь все это время постоянным теплопотоком от постоянного перепада температур $dT=\frac{T_2-T_0}{2}$, приложенного к половине толщины металлической пластины. Отсюда можно найти $T_2$.

[realeugene]

profilescit
Теплопроводность металлической пластины настолько больше теплопроводности воздуха, что ею можно пренебречь. Вот чем обычно нельзя пренебрегать - так это теплопроводностью пограничного слоя воздуха в потоке возле пластины. Пограничный слой воздуха обычно сильно тоньше канала и именно в нём присутствует основной перепад температуры.

[sergey zhukov]

realeugene
Да, на практике температура воздуха в сечении канала не будет постоянной по сечению и равной температуре поверхности металла в сечении. Это не очень реалистичное приближение. Если канал не имеет сильно развитой поверхности вроде множества теплообменных ребер, то большая часть воздуха пройдет через него вообще без теплообмена.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1521072 писал(а):

то большая часть воздуха пройдет через него вообще без теплообмена.

Не забывайте, что в канале течение воздуха, скорее всего, турбулентное, с максимальным размером вихря порядка ширины канала. И пограничный слой тоже турбулентный. То есть, нет, воздух хорошо перемешивается. Но основное падение температуры будет только на толщине в несколько миллиметров.

[GraNiNi]

profilescit в сообщении #1521036 писал(а):

А значит металлическую пластину можно рассматривать как постоянный нагреватель, с постоянной мощностью

Здесь происходит теплопередача от воздуха к воздуху через металлическую стенку как в противоточном теплообменнике.

Для решения сначала вычисляют коэффициенты теплоотдачи от воздуха к стенке, с одной стороны, и от стенки к воздуху с другой стороны. Это делают через эмпирические уравнения для критериев подобия, (Re, Nu и пр.) используя скорости движения воздуха и геометрию сечения канала.
Затем вычисляют коэффициент теплопередачи и зная площадь теплообмена и массовые расходы воздуха, приводят им в соответствие тепловые потоки и требуемую разность температур.