Доказать, что оператор - проектор

[artempalkin]

Задача 56.8 из задачника Ким (но в целом, конечно, классическая задача)

Доказать, что любой оператор, для которого $P^2=P$, является проектором.

Задача легко доказывается с привлечением тяжелой артиллерии. Например, если рассмотреть жорданову форму, то чтобы жорданова клетка в квадрате давала саму себя, она должна быть порядка $1$ и равной $0$ либо $1$, в итоге получаем проектор.

Но к моменту рассмотрения этой задачи мы еще даже не знаем про СЗ оператора, а тем более про ЖНФ. Мы не знаем даже про индуцирование оператора на его инвариантное подпространство и т.д.. Зато мы знаем про образ и ядро, всякие свойства подпространств, про обратный оператор знаем. Но я что-то не могу придумать "элементарного" метода доказательства утверждения этой задачи.

[Balexxx]

Это зависит от того, какое определение проектора используется. Вообще-то, во многих источниках проектором зазывается идемпотент, то есть оператор с таким свойством.

[artempalkin]

Balexxx в сообщении #1520943 писал(а):

Это зависит от того, какое определение проектора используется. Вообще-то, во многих источниках проектором зазывается идемпотент, то есть оператор с таким свойством.

Хороший вопрос. По определению (эквивалентному, видимо, что и нужно доказать) проектор - это оператор, который проецирует любой элемент на некоторое подпространство параллельно другому подпространству.

[nnosipov]

artempalkin
Достаточно заметить, что пересечение ядра и образа такого оператора тривиально.

[Balexxx]

Цитата:

это оператор, который проецирует любой элемент на некоторое подпространство параллельно другому подпространству.

А что речь идет о непременно Евклидовых пространствах? Выше был отличный совет для общего случая. Линейных пространств, конечно. А не для каких-нибудь категорий с мнимыми идемпотентами :)

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1520945 писал(а):

artempalkin
Достаточно заметить, что пересечение ядра и образа такого оператора тривиально.

Да, я думал об этом, у проекторов ядро и образ не пересекаются. Но верно ли будет обратное? Это не проще доказать, чем исходное утверждение, кажется :)

-- 02.06.2021, 19:35 --

Balexxx в сообщении #1520947 писал(а):

А что речь идет о непременно Евклидовых пространствах? Выше был отличный совет для общего случая. Линейных пространств, конечно. А не для каких-нибудь категорий с мнимыми идемпотентами :)

Задача из задачника Ким по Линалу, обычные ЛП - 2 закона композиции и 8 аксиом, с чем-то большим я не знаком :)

[Balexxx]

Цитата:

Задача из задачника Ким по Линалу, обычные ЛП - 2 закона композиции и 8 аксиом

Ну то есть не обязательно Евклидово. Скалярного произведения нет, углов тоже и о параллельности говорить не стоит. Отталкивайтесь от формального определения в книжке. Не знаком с ней, но скорее всего там определение через прямую сумму.

[artempalkin]

Balexxx в сообщении #1520950 писал(а):

Ну то есть не обязательно Евклидово. Скалярного произведения нет, углов тоже и о параллельности говорить не стоит. Отталкивайтесь от формального определения в книжке.

Параллельность (или коллинеарность) не требуют введения СП все же :) Да и да, речь же о "формальном" определении, смысл слов тут неважен.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1520949 писал(а):

Но верно ли будет обратное?

Верно. И почти очевидно: пусть $x \in \mathop{\rm Im}{\varphi}$ и $x \in \mathop{\rm Ker}{\varphi}$. Тогда $x=\varphi(y)$ и $\varphi(x)=0$. Отсюда ... $x=0$.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1520945 писал(а):

artempalkin
Достаточно заметить, что пересечение ядра и образа такого оператора тривиально.

Все-таки вот этот момент я не понял. Доказать это несложно (пусть $x$ принадлежит и ядру и образу. Тогда $\theta=Px=P^2y=Py=x$). Но разве из этого сразу следует, что оператор - проектор? Разве только у проекторов ядро и образ не пересекаются? Мне кажется, это необходимое, но не достаточное условие.

-- 02.06.2021, 19:57 --

nnosipov в сообщении #1520952 писал(а):

Но верно ли будет обратное?

Я имею в виду, верно ли будет, что если ядро и образ не пересекаются, то оператор - проектор. Думаю, нет.

[Balexxx]

Цитата:

Я имею в виду, верно ли будет, что если ядро и образ не пересекаются, то оператор - проектор. Думаю, нет.

Это Вам и не нужно. Пространство разложится в прямую сумму образа и ядра. Оператор будет работать как проектор на образ.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1520954 писал(а):

Разве только у проекторов ядро и образ не пересекаются?

Не только. Но там остается пустяк: нужно проверить, что если $x \in \mathop{\rm Im}{\varphi}$, то $\varphi(x)=x$. (Хотя это уже фактически сделано.)

[svv]

Пусть $P^2=P$. Тогда для любого $v\in V$
$v=Pv+(v-Pv)$, причём
$Pv\in \operatorname{Im}P$ (очевидно),
$v-Pv \in \operatorname{Ker} P$ (потому что $P(v-Pv)=0$).

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1520958 писал(а):

Но там остается пустяк: нужно проверить, что если $x \in \mathop{\rm Im}{\varphi}$, то $\varphi(x)=x$. (Хотя это уже фактически сделано.)

Ага, да, согласен, это вполне подойдет.
Итого:
1) доказываем, что образ и ядро не пересекаются;
2) доказываем, что образом любого элемента образа является он сам.

Да, отлично, спасибо!

svv в сообщении #1520959 писал(а):

Пусть $P^2=P$. Тогда для любого $v\in V$
$v=Pv+(v-Pv)$, причём
$Pv\in \operatorname{Im}P$ (очевидно),
$v-Pv \in \operatorname{Ker} P$ (потому что $P(v-Pv)=0$).

Да, это круто! И я даже понимаю, как до этого можно было бы догадаться.
Единственное, я вот думаю, здесь все еще нужно доказывать, что образ и ядро не пересекаются? Кажется, нужно.

[svv]

Да, конечно, нужно (просто я исходил из того, что "непересечение" у Вас уже есть). Действуем в том же духе:
Пусть $u\in\operatorname{Im}P\setminus\{0\}$, тогда $\exists v\in V: Pv=u$. Но так как
$Pu=P^2 v=Pv=u\neq 0$, то $ u\notin\operatorname{Ker}P$
Ну а есть прямая сумма — есть параллельная проекция.

artempalkin в сообщении #1520966 писал(а):

Да, это круто!

Я только оформил явно то, что подразумевали другие участники.