Подобрать функцию Ляпунова и доказать устойчивость

[PeanoJr]

Есть такая система:

$$\frac{dx}{dt} = x+y$$

$$\frac{dy}{dt} = -5x-2y$$

Нужно исследовать на устойчивость точку покоя. Методом первого приближения (надеюсь, правильно называю) легко показать, что действительные части всех решений характеристического уравнения отрицательны, поэтому нулевое решение устойчиво.

Вторая часть задания -- показать это с помощью функции Ляпунова. Обычно срабатывает что-то типа $V(x, y) = ax^2 + by^2$, либо что-то похожее, и все сводится к подбору коэффициентов $a, b$. В этом случае так легко подобрать нужную функцию не удается. Насколько я понимаю, подбор нужной функции -- своего рода искусство :)

Подскажите, пожалуйста, как тут сузить круг подозреваемых. Я уже даже симуляцию написал с перебором небольших $a, b$ и некоторых подходящих функций, но тоже безуспешно. Если не знать, что ответ на вопрос об устойчивости положительный, задумался бы о том, что нужно пытаться доказать неустойчивость по теореме Ляпунова или Четаева, но нет.

Спасибо!

[GAA]

Странное упражнение. Можно так.
Система [характеристическое уравнение системы] имеет комплексно-сопряжённые корни. Обозначим через $a$ — действительную часть, а через $b$ — мнимую часть. Приведём систему к виду

$\dot u = au - bv$, $\dot v = bu + av.$

Тогда можно взять $V = u^2 +v^2$. Действительно
1) $V$ положительна в проколотой окрестности начала координат и равна нулю в начале координат;
2) $\dot V = 2a u^2 +2av^2 < 0$ в проколотой окрестности, т.к. $a < 0$.

[PeanoJr]

Спасибо за ответ!

GAA в сообщении #1520836 писал(а):

Приведём систему к виду

Как-то несимпатично все это будет выглядеть. Правильно ли я понимаю, из такой замены возникает необходимость предварительно выразить ещё $u$ и $v$ через $x$ и $y$, чтобы система имела тот вид, который Вы написали?
А потом уже после решения этой системы можно будет записать и саму функцию Ляпунова.

Согласен, задание очень странное.

[GAA]

Или наоборот, перейдите в функции $V = u^2 +v^2$ к переменным $x$, $y$.

[demolishka]

PeanoJr в сообщении #1520820 писал(а):

Насколько я понимаю, подбор нужной функции -- своего рода искусство :)

Для линейных систем $\dot{x}=Ax$ поиск функции Ляпунова типа квадратичная форма $V(x)=(Px,x)$ приводит к уравнению Ляпунова: $PA+A^{*}P=-G$. Здесь $G$ есть произвольный симметрический положительно определенный оператор; можно взять $G=I$. Для асимптотически устойчивых систем ответ даётся формулой

$$P=\int_{0}^{+\infty} e^{A^{*}t}Ge^{At} dt.$$