Прообраз открытых интервалов вещественной оси

[maximav]

I. Пусть мы имеем (однозначное) отображение $F$ из некоторого (пока еще не топологического) пространства $M$ на числовую ось, которая, в свою очередь, уже оснащена естественной топологией $R$. Насколько очевидным является тот факт, что прообраз $F^{-1}$ открытых интервалов на $R$-оси будет автоматически доставлять семейство открытых множеств в пространстве $M$. Есть ли подводные камни в этом утверждении; если оно точное, конечно. Где почитать подробности?

II. Здесь напрашивается некое обобщение про универсальность естественной $R$-топологии. По всей видимости всякое открытое множество в $R$ (в смысле определения абстрактной топологии) есть счетное объединение открытых интервалов; открытых в смысле стандартной топологии по упорядочению на числах. Это корректно? очевидно, банальность? где почитать?

Наверняка такого рода вещи прописаны где-то в учебниках. Заранее спасибо за комментарии.

[пианист]

maximav в сообщении #1520637 писал(а):

Насколько очевидным является тот факт, что прообраз $F^{-1}$ открытых интервалов на $R$-оси будет автоматически доставлять семейство открытых множеств в пространстве $M$.

Прообраз открытого множества открыт это просто определение непрерывности. Или Вы о чем?

[tolstopuz]

I. Индуцированная топология.
II. Открытые интервалы составляют базу стандартной топологии на $\mathbb{R}$. Это частный случай порядковой топологии.

[мат-ламер]

maximav в сообщении #1520637 писал(а):

По всей видимости всякое открытое множество в $R$ (в смысле определения абстрактной топологии) есть счетное объединение открытых интервалов; открытых в смысле стандартной топологии по упорядочению на числах. Это корректно? очевидно, банальность?

Это неверно. На $R$ можно придумать много разных топологий, которые будут сильно непохожи на стандартную топологию. (Это, если я правильно понял ваш вопрос).

[Padawan]

maximav в сообщении #1520637 писал(а):

Где почитать подробности?

Посмотрите Н. Бурбаки Общая топология. Основные структуры. М., 1968. На стр 35 пункт Инициальные топологии.

-- Вт июн 01, 2021 15:02:40 --

maximav в сообщении #1520637 писал(а):

По всей видимости всякое открытое множество в $R$ (в смысле определения абстрактной топологии) есть счетное объединение открытых интервалов; открытых в смысле стандартной топологии по упорядочению на числах. Это корректно? очевидно, банальность? где почитать?

Это стандартный факт. Ещё можно добавить слова "попарно непересекающихся".