Определитель матрицы с неизвестными на диагонали

[a.g.veynik]

При изучении матриц наткнулся на матрицы вида:

$ M_3\left(b_1,b_2,b_3\right)=\left( \begin{array}{ccc} b_1 & a_2 & a_3 \\ -a_1 & b_2 & a_3 \\ -a_1 & -a_2 & b_3 \\ \end{array} \right), $

$ M_5\left(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\right)\text{=}\left( \begin{array}{ccccc} b_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ -a_1 & b_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ -a_1 & -a_2 & b_3 & a_4 & a_5 \\ -a_1 & -a_2 & -a_3 & b_4 & a_5 \\ -a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_4 & b_5 \\ \end{array} \right). $

В общем виде обозначу, как $M_{2n-1}$.

Мне интересны решения $\det(M_{2n-1})=0$.

Например, я вижу, что для $M_3$ одним из решений будет:

$\\ b_1=a_3-a_2,\\ b_2=a_1-a_3,\\ b_3=a_2-a_1. $

Или

$\\ b_1=0,\\ b_2=0,\\ b_3=0. $


Для $M_5$:

$\\ b_1=-a_2-a_3+a_4+a_5,\\ b_2=a_1+a_3-a_4-a_5,\\ b_3=a_1-a_2-a_4+a_5,\\ b_4=-a_1+a_2+a_3-a_5,\\ b_5=-a_1+a_2-a_3+a_4. $

Или

$\\ b_1=0,\\ b_2=0,\\ b_3=a_4-a_5,\\ b_4=-a_3+a_5,\\ b_5=a_3-a_4. $

Или

$\\ b_1=0,\\ b_2=0,\\ b_3=0,\\ b_4=0,\\ b_5=0. $

Изучались ли такие матрицы и такие решения (буду благодарен за ссылку на литературу).
И можно ли как-то получить решения в общем виде?

[lel0lel]

Можно записать линейную зависимость (равенство нулю линейной комбинации) столбцов с произвольными коэффициентами. Умножьте матрицу на столбец произвольных коэффициентов и приравняйте к нулю. Затем найти все $b_i$ из полученных уравнений. Если некоторые коэффициенты линейной комбинации нулевые, то должно выполняться условие согласованности чисел $a_i$ и коэффициентов.

[svv]

Решений тут даже очень много. Определитель является многочленом первой степени относительно любого элемента, например, $a_{11}$. Произвольно зададим остальные элементы — с единственным требованием, чтобы коэффициент при $a_{11}$ в этом многочлене был ненулевым. (Этот коэффициент равен минору, полученному вычёркиванием первой строки и первого столбца.) Приравнивая определитель нулю, получим уравнение первой степени относительно $a_{11}$, имеющее единственное решение.