"Теорема Гёделя" никогда не была доказана

[маткиб]

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Не смущает. Это не отменяет моих рассуждений.

Это отменяет ваши рассуждения про несчетность количества "эффективных функций".

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Мною приведено доказательство. Доказательства абсолютны или это не доказательства.

в корне неверный лозунг

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Вы фиксировали теорию арифметики, в которой считаете существует формула Гёделя, и которая претендует быть "настоящей арифметикой"? Да, Нет?

Я ничего не фиксировал. Гёдель доказал свою теорему для любой корректной арифметики.

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Употребляется ли в этой теории предикат Prf (пусть даже он обозначается как у Вас, в моих рассуждениях теория не меняется)? Да, Нет?

Вообще, теорема Гёделя доказывается для теорий, который доказывают утверждения на языке арифметики Пеано, там нет никакого предиката Prf. Если нужно его использовать, он выражается через то, что есть.

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Является ли оспариваемая Вами аксиома (из доказуемости вытекает истинность) аксиомой фиксированной ранее теории? Да, Нет?

Такая аксиома не может содержаться в корректной достаточно богатой теории, поэтому однозначно НЕТ.

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Такое ощущение, что Вы читаете мои пояснительные посты или только пояснительную часть текста в ПОСТАХ 1 и 2, и, видимо, не прочли внимательно полные доказательства в ПОСТАХ 1 и 2, где все аргументы.

Как не старался, не понял вашего "доказательства". Вы рассматриваете случай, когда аксиома "Prf(Ф)->Ф" содержится в теории, тогда у вас всё тип топ, а про случай, когда она не содержится в теории, вы пишите следующее:

Инт в сообщении #151936 писал(а):

Однако, если мы не признаём утверждение «Prf(Ж) влечёт Ж» в качестве аксиомы (схемы аксиом) теории S, или не допускаем «рассуждения от противного», то и не можем говорить о том, что доказали классическую не выводимость Ф. В самом деле, доказана не выводимость Ф в теории S, которая почему-то отождествляется с PA, но в которой, например, запрещено извлекать из доказуемости формул их истинность. Это означает, что, отрицая аксиому «Prf(Ж) влечёт Ж», мы рассматриваем усечённую, неклассическую «доказуемость». Относительно такой «доказуемости» и устанавливаем «недоказуемость формулы Ф». Получаем, что в S потеряны логические операции, ради которых создавалась S, и которыми располагает любая естественная теория. Таким образом, в содержательной интерпретации гёделева арифметика либо логически ограничена, либо противоречива.

То есть вы называете "логически ограниченными" абсолютно все корректные теории. Что ж, ваше право. Так уж устроен мир, в котором все корректные теории логически ограничены. В чём же тогда Гёдель не прав? В том, что он не рассмотрел несуществующий случай "логически неограниченной теории"?

Добавлено спустя 9 минут 30 секунд:

Инт в сообщении #152002 писал(а):

По Вашей просьбе укажу как построить требуемую Вами теорию. Повторяю, это никак не влияет ни на отрицание, ни на подтверждение моих выводов, т.е. вопрос Ваш не по существу дела: Считаем, что формула Гёделя присоеденена к арифметике в качестве аксиомы изначально. ...

Что такое формула Гёделя? Та, что выражает собственную недоказуемость? И как вы собираетесь её присоединять, чтобы она осталась формулой Гёделя? Дальше не читал. Тем более, как вы пишите, это никак не влияет на ваши выводы (хотя на самом деле ваши выводы именно на этом и основаны, загадочная полная теория должна содержать аксиому "(Ф доказуема в этой теории)->Ф" для любой формулы Ф)

[MaximKat]

Инт в сообщении #151800 писал(а):

Ясно, что сама функция перечисления, не описывается в том языке

не ясно

[маткиб]

Инт в сообщении #152002 писал(а):

Моих рассуждений не отменяет и зачем-то выстраиваемая Вами иерархия теорий (это не по делу).

Иерархию я построил просто как пример, который, возможно, покажет вам непреодолимые трудности при попытке построить "логически неограниченную теорию".

[Инт]

маткиб-у

У меня нет лозунгов. Указанное мною об абсолютности доказательств - метаматематическое утверждение.

Вы не ответили на мои вопросы в форме Да-Нет.
Причём тут фиксация Вами или не Вами теории. Ясно, что необходимо остановиться на какой-то конкретной теории. Будем считать, что такую теорию фиксировал Гёдель. Если

Цитата:

Такая аксиома не может содержаться в корректной достаточно богатой теории, поэтому однозначно НЕТ.

, то тогда это означает, что указанная Вами теория как раз "не достаточно богата" - патология с точки зрения логики. Т.е. по-вашему, в достаточно богатой теории из доказуемости не должна извлекаться истинность.

Думаю, что Ваше

Цитата:

Как не старался, не понял вашего "доказательства".

- ложь. Доказательство моё простое. В любом случае, что же Вы мне возражаете, если не поняли о чём речь?

Цитата:

вы называете "логически ограниченными" абсолютно все корректные теории

.

Не все, а конкретно теорию арифметики Гёделя с противоречиво определённой или патологической дедуктикой.

Добавлено спустя 4 минуты 15 секунд:

MaximKat-у

Берём и определяем функцию в другом языке.

[маткиб]

Инт в сообщении #152033 писал(а):

Если Цитата:Такая аксиома не может содержаться в корректной достаточно богатой теории, поэтому однозначно НЕТ.

, то тогда это означает, что указанная Вами теория как раз "не достаточно богата" - патология с точки зрения логики. Т.е. по-вашему, в достаточно богатой теории из доказуемости не должна извлекаться истинность.

Патология это или не патология - это уже дело вашего личного отношения. Но факт остаётся фактом: по-вашему "достаточно богатых", "логически неограниченных" теорий просто не бывает.

Инт в сообщении #152033 писал(а):

Цитата:вы называете "логически ограниченными" абсолютно все корректные теории.

Не все, а конкретно теорию арифметики Гёделя с противоречиво определённой дедуктикой.

Что это за теория арифметики Гёделя?

Инт в сообщении #152033 писал(а):

Думаю, что Ваше Цитата:Как не старался, не понял вашего "доказательства". - ложь. Доказательство моё простое. В любом случае, что же Вы мне возражаете, если не поняли о чём речь?

Значит, ваше доказательство простое, но неправильное. Потому и возражаю.

[MaximKat]

Инт в сообщении #152033 писал(а):

Берём и определяем функцию в другом языке.

а я беру и определяю в этом же
что дальше?

[Инт]

MaximKat-у

Цитата:

а я беру и определяю в этом же
что дальше?

Можете, но я имею ввиду функцию, перечисляющую все функции некоторой фиксированой теории. В языке теории Вы не всегда определите указанную мною функцию, так как все средства теории считаем исчерпаными.

[MaximKat]

я, вот, умею строить универсальную машину тьюринга
а вы?

Добавлено спустя 47 секунд:

короче говоря, где противоречие?

[Инт]

Цитата:

Патология это или не патология - это уже дело вашего личного отношения.

Моё отношение тут не причём. Я дал полное доказательство, которое вы не обойдёте.

Ваше утверждение, что

Цитата:

по-вашему "достаточно богатых", "логически неограниченных" теорий просто не бывает.

попросту ложь. Поскольку именно это утверждаете Вы. Я же утверждаю как раз обратное, что такие теории скоре всего как естественные математические теории существуют, но тогда же они не совместимы с арифметикой Гёделя. Термин "Арифметика Гёделя" я пояснил в ПОСТЕ №2, специалльно для Вас.

[Xaositect]

Инт в сообщении #152050 писал(а):

Можете, но я имею ввиду функцию, перечисляющую все функции некоторой фиксированой теории. В языке теории Вы не всегда определите указанную мною функцию, так как все средства теории считаем исчерпаными.

Если в теории можно определить все рекурсивные функции, как, например, в арифметике, то можно и функцию, перечисляющую все теоремы, построить.

[Инт]

Цитата:

я, вот, умею строить универсальную машину тьюринга
а вы?

короче говоря, где противоречие?

Я вообще никакого противоречия не утверждал. И при чём тут машина Тьюринга. Стройте себе на здоровье. Может быть Вы не прочли ПОСТ №1? Я бы хотел сосредоточиться не на указанном Вами вопросе, а на вопросе по "Теореме Гёделя". Хотя, если Вы будете настаивать на одном из упомянутых мною других вопросах, то конечно пойду на встречу Вам, как обещал для участников темы. Прошу задавать вопросы более технично.

[маткиб]

Инт в сообщении #152054 писал(а):

Ваше утверждение, что

Цитата:по-вашему "достаточно богатых", "логически неограниченных" теорий просто не бывает.

попросту ложь. Поскольку именно это утверждаете Вы.

Да, это утверждаю именно я. Слово "по-вашему" относилось к терминам, а не к утверждению.

Инт в сообщении #152054 писал(а):

Я же утверждаю как раз обратное, что такие теории скоре всего как естественные математические теории существуют, но тогда же они не совместимы с арифметикой Гёделя.

"Скорее всего" не принимается. Вы ещё ни одной такой не привели.

Инт в сообщении #152054 писал(а):

Цитата:Патология это или не патология - это уже дело вашего личного отношения.

Моё отношение тут не причём. Я дал полное доказательство, которое вы не обойдёте.

Полное доказательство чего? Что для "логически неограниченных" теорий (содержащих аксиому "(доказуемо Ф)->Ф") теорема Гёделя не верна? Так я с этим и не спорю. Это верно, потому что "логически неограниченных" теорий не бывает.

[Xaositect]

Инт в сообщении #152054 писал(а):

Термин "Арифметика Гёделя" я пояснил в ПОСТЕ №2, специалльно для Вас.

Если я правильно понял, вы утверждаете, что в арифметике Пеано PA нельзя построить формулу, выражающую доказуемость в PA?

[Инт]

Xaositect-у

Цитата:

Если в теории можно определить все рекурсивные функции, как, например, в арифметике, то можно и функцию, перечисляющую все теоремы, построить.

Упомянутую Вами функцию, перечисляющую теоремы, построил Гёдель, если считать, что "теоремы" суть выводимые утверждения. Если под "теоремой" понимать просто истинное утверждение, то конечно это проблемно.

[Xaositect]

маткиб в сообщении #152060 писал(а):

Это верно, потому что "логически неограниченных" теорий не бывает.

Есть, ровно одна

Инт в сообщении #152058 писал(а):

Я вообще никакого противоречия не утверждал. И при чём тут машина Тьюринга.

Машина Тьюринга(понятие алгоритма) имеет прямое отношение к теореме Геделя. В теореме Геделя предполагается, что множество аксиом теории перечислимо, а правила вывода алгоритмичны.

Понятно, что если мы возьмем в качестве аксиом теории все истинные(в стандартной модели) утверждения, мы получим полную и непротиворечивую теорию. Но она не будет перечислимо аксиоматизируемой. Это полностью согласуется с теоремой Геделя.