2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 21:52 


01/03/21
11
Имеется тождественное неравенство(получается с помощью неравенства Бернулли):
$(1-\sqrt{1-x^9})^{\frac{1}{9}}+(1+\sqrt{1-x^9})^{\frac{1}{9}}\leqslant2$
Вопрос: как получить максимальное значение(два) из этого? Насколько я знаю, нужно приравнять $1-\sqrt{1-x^9}$ и $1+\sqrt{1-x^9}$, но не знаю почему. Ответ должен получиться 1.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2021, 22:08 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - не надо набирать одну формулу из "кусочков".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2021, 22:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 22:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А справедливо ли неравенство? Подставьте, пожалуйста, в левую часть $x=0$. Чему она будет равна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 22:41 


01/03/21
11
svv в сообщении #1520369 писал(а):
А справедливо ли неравенство? Подставьте, пожалуйста, в левую часть $x=0$. Чему она будет равна?

Вы правы. Извиняюсь. $1-\sqrt{1-x^9}$ и $1+\sqrt{1-x^9}$ возводятся в степень $\frac{1}{9}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 22:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
На всякий случай: если надо набрать степень, в которую входит несколько символов, окружите их фигурными скобками. То же касается индексов, числителя и знаменателя дроби и др.
Пишем a^{-9}, получаем $a^{-9}$.

-- Пт май 28, 2021 22:13:23 --

Хорошо. Вы говорите, что доказывать неравенство не нужно. Вы можете указать область определения левой части? Потом найдите значение левой части для минимального и максимального $x$ из области определения, чтобы оценить ситуацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 23:20 


01/03/21
11
svv в сообщении #1520371 писал(а):
На всякий случай: если надо набрать степень, в которую входит несколько символов, окружите их фигурными скобками. То же касается индексов, числителя и знаменателя дроби и др.
Пишем a^{-9}, получаем $a^{-9}$.

-- Пт май 28, 2021 22:13:23 --

Хорошо. Вы говорите, что доказывать неравенство не нужно. Вы можете указать область определения левой части? Потом найдите значение левой части для минимального и максимального $x$ из области определения, чтобы оценить ситуацию.

Максимальное значение из области определения является корнем, а минимального нет. Да и как-то не особо понятно как тут оценить, что других решений нет: левая часть не монотонна, и что-то сказать не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
kvaa2 в сообщении #1520361 писал(а):
Насколько я знаю, нужно приравнять $1-\sqrt{1-x^9}$ и $1+\sqrt{1-x^9}$, но не знаю почему.
А не нужно знать почему. Это распространённый эвристический (ни на чём особо не основанный) приём. Приравняли, получили $\sqrt{1-x^9}=0$, отсюда $x=1$. Подставили в левую часть неравенства, получили $2$. Ого! - искомая точка, в которой максимальное значение $2$ достигается, найдена. Если бы не получилось, это значило бы, что приём не сработал и нужно пробовать что-то другое.

Если в задаче требуется просто найти какую-нибудь точку, в которой достигается значение $2$, то нет разницы, какими приёмами пользоваться - можно её вообще просто угадать.

Или в задаче требуется найти все точки $x$, при которых достигается значение $2$? Тогда сложнее - эвристический приём не гарантирует, что точка максимума $x=1$ будет единственной. Обозначьте $t=\sqrt{1-x^9}$ (это напрашивается) и получится левая часть в виде $f(t)=(1-t)^{1/9}+(1+t)^{1/9}$. Кстати, какие значения здесь может принимать $t$? На этом промежутке и исследуйте функцию $f(t)$ на экстремум, например, через производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)
Сообщение28.05.2021, 23:55 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
kvaa2 в сообщении #1520372 писал(а):
Да и как-то не особо понятно как тут оценить, что других решений нет: левая часть не монотонна, и что-то сказать не получается.
Так ведь неравенство у Вас, можно сказать, строгое. Я имею в виду, что все случаи, когда в неравенстве Бернулли достигается равенство, хорошо известны. Обозначим $t=\sqrt{1-x^9}$, как предложил Mikhail_K. Возьмём любое значение переменной $t$, которые она может принимать в Вашей задаче (кроме $t=0$). Тогда $(1-t)^{\frac 1 9}$ строго меньше чего-то, и $(1+t)^{\frac 1 9}$ тоже строго меньше чего-то другого, ну а их сумма строго меньше $2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group