Нахождение точки максимума(зная максимальное значение)

[kvaa2]

Имеется тождественное неравенство(получается с помощью неравенства Бернулли):
$(1-\sqrt{1-x^9})^{\frac{1}{9}}+(1+\sqrt{1-x^9})^{\frac{1}{9}}\leqslant2$
Вопрос: как получить максимальное значение(два) из этого? Насколько я знаю, нужно приравнять $1-\sqrt{1-x^9}$ и $1+\sqrt{1-x^9}$, но не знаю почему. Ответ должен получиться 1.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - не надо набирать одну формулу из "кусочков".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

А справедливо ли неравенство? Подставьте, пожалуйста, в левую часть $x=0$. Чему она будет равна?

[kvaa2]

svv в сообщении #1520369 писал(а):

А справедливо ли неравенство? Подставьте, пожалуйста, в левую часть $x=0$. Чему она будет равна?

Вы правы. Извиняюсь. $1-\sqrt{1-x^9}$ и $1+\sqrt{1-x^9}$ возводятся в степень $\frac{1}{9}$.

[svv]

На всякий случай: если надо набрать степень, в которую входит несколько символов, окружите их фигурными скобками. То же касается индексов, числителя и знаменателя дроби и др.
Пишем a^{-9}, получаем $a^{-9}$.

-- Пт май 28, 2021 22:13:23 --

Хорошо. Вы говорите, что доказывать неравенство не нужно. Вы можете указать область определения левой части? Потом найдите значение левой части для минимального и максимального $x$ из области определения, чтобы оценить ситуацию.

[kvaa2]

svv в сообщении #1520371 писал(а):

На всякий случай: если надо набрать степень, в которую входит несколько символов, окружите их фигурными скобками. То же касается индексов, числителя и знаменателя дроби и др.
Пишем a^{-9}, получаем $a^{-9}$.

-- Пт май 28, 2021 22:13:23 --

Хорошо. Вы говорите, что доказывать неравенство не нужно. Вы можете указать область определения левой части? Потом найдите значение левой части для минимального и максимального $x$ из области определения, чтобы оценить ситуацию.

Максимальное значение из области определения является корнем, а минимального нет. Да и как-то не особо понятно как тут оценить, что других решений нет: левая часть не монотонна, и что-то сказать не получается.

[Mikhail_K]

kvaa2 в сообщении #1520361 писал(а):

Насколько я знаю, нужно приравнять $1-\sqrt{1-x^9}$ и $1+\sqrt{1-x^9}$, но не знаю почему.

А не нужно знать почему. Это распространённый эвристический (ни на чём особо не основанный) приём. Приравняли, получили $\sqrt{1-x^9}=0$, отсюда $x=1$. Подставили в левую часть неравенства, получили $2$. Ого! - искомая точка, в которой максимальное значение $2$ достигается, найдена. Если бы не получилось, это значило бы, что приём не сработал и нужно пробовать что-то другое.

Если в задаче требуется просто найти какую-нибудь точку, в которой достигается значение $2$, то нет разницы, какими приёмами пользоваться - можно её вообще просто угадать.

Или в задаче требуется найти все точки $x$, при которых достигается значение $2$? Тогда сложнее - эвристический приём не гарантирует, что точка максимума $x=1$ будет единственной. Обозначьте $t=\sqrt{1-x^9}$ (это напрашивается) и получится левая часть в виде $f(t)=(1-t)^{1/9}+(1+t)^{1/9}$. Кстати, какие значения здесь может принимать $t$? На этом промежутке и исследуйте функцию $f(t)$ на экстремум, например, через производную.

[svv]

kvaa2 в сообщении #1520372 писал(а):

Да и как-то не особо понятно как тут оценить, что других решений нет: левая часть не монотонна, и что-то сказать не получается.

Так ведь неравенство у Вас, можно сказать, строгое. Я имею в виду, что все случаи, когда в неравенстве Бернулли достигается равенство, хорошо известны. Обозначим $t=\sqrt{1-x^9}$, как предложил Mikhail_K. Возьмём любое значение переменной $t$, которые она может принимать в Вашей задаче (кроме $t=0$). Тогда $(1-t)^{\frac 1 9}$ строго меньше чего-то, и $(1+t)^{\frac 1 9}$ тоже строго меньше чего-то другого, ну а их сумма строго меньше $2$.