Дифференциальное уравнение

[Mari_Kam]

Здравствуйте!
Решаю такое дифференциальное уравнение:

$$xy' = y - \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Делаю замену: $y = tx$, $y' = t'x + t$.
Получается следующее:

$$x(t'x + t) = tx - \sqrt{x^2(1 + t^2)},$$

$$x^2t' = - \sqrt{x^2(1 + t^2)}.$$

Вот здесь возникает проблема - насколько я понимаю, дальше должно быть так:

$$x^2t' = - |x|\sqrt{1 + t^2}.$$

Если выполнить разделение переменных, то получается следующее:

$$\frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} = - \frac{|x|}{x^2}dx.$$

Таким образом, нужно решить фактически два уравнения. Но решение одного при подстановке в исходное ДУ не даёт тождества. Может ли такое быть? Или в рассуждениях выше есть ошибки? Смущает ещё и то, что в методичке никакой модуль не вводится, а написано следующее:
Полагая $y = tx$, $y' = t'x + t$, получим $\frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} = - \frac{dx}{x^2}$.

[svv]

Могу подтвердить, что уравнение, которое Вы решаете, не соответствует указанию, данному в методичке. Чья тут ошибка — неизвестно. Вашему уравнению удовлетворяет полином второй степени от $x$ (не с любыми, а со специально подобранными коэффициентами), авторы "указания" решают что-то другое.

-- Чт май 27, 2021 01:34:04 --

По поводу модуля — Ваше уравнение не меняется при замене $x$ на $-x$, поэтому достаточно решить его для положительных $x$, а для отрицательных решение получится отражением.

[Mari_Kam]

svv в сообщении #1520167 писал(а):

Могу подтвердить, что уравнение, которое Вы решаете, не соответствует указанию, данному в методичке. Чья тут ошибка — неизвестно. Вашему уравнению удовлетворяет полином второй степени от $x$ (не с любыми, а со специально подобранными коэффициентами), авторы "указания" решают что-то другое.

Может быть как-то используется то, что эта задача "геометрическая"? Нужно найти такие кривые, что треугольник, образованный осью ординат, касательной к кривой и радиусом-вектором точки касания, будет равнобедренным. Там несколько возможных случаев, а это уравнение получается, если считать равными стороны, которые опираются на участок касательной. Длина той стороны, что по оси $Oy$, равна $|y - y'x|$, а длина радиуса-вектора $\sqrt{x^2 + y^2}$. Если эти длины приравнять, как раз получается рассматриваемое уравнение.
У меня получились кривые

$$y = \frac{C}{2} - \frac{x^2}{2C},$$

$$y = \frac{Cx^2}{2} + \frac{1}{C},$$

а в ответе только первая из них.

[svv]

При $C=1$ второе решение даёт $y=\frac{x^2}{2}+1$ и $y'=x$. Возьмём точку $x=\sqrt 2$, тогда касательная пройдёт через начало координат и ничего похожего на равнобедренный треугольник не получится. Ясно, что и при близких $x$ тоже.

[Mari_Kam]

svv в сообщении #1520170 писал(а):

При $C=1$ второе решение даёт $y=\frac{x^2}{2}+1$ и $y'=x$. Возьмём точку $x=\sqrt 2$, тогда касательная пройдёт через начало координат и ничего похожего на равнобедренный треугольник не получится. Ясно, что и при близких $x$ тоже.

То есть это просто постороннее решение?

[svv]

Mari_Kam в сообщении #1520169 писал(а):

Длина той стороны, что по оси $Oy$, равна $|y - y'x|$, а длина радиуса-вектора $\sqrt{x^2 + y^2}$. Если эти длины приравнять, как раз получается рассматриваемое уравнение.

Подставьте Ваше второе решение $y(x) = \frac{Cx^2}{2} + \frac{1}{C}$ в уравнение $|y-y'x|=\sqrt{x^2+y^2}$, Вы увидите, что оно не удовлетворяется. Значит, где-то в решении ошибка.