Достаточно ли данных в условии?

[kthxbye]

Задачка под номером 13 из статьи в Кванте:

Цитата:

Около окружности радиуса $r$ описана трапеция с основаниями $a$ и $b$ ($a>b$). Вычислить угол между ее боковыми сторонами.

Достаточно ли данных в условии? Если да, то как, собственно, решается задача? Мне предложили вариант

$$\ctg\frac{A}{2}=\frac{ab}{r(a-b)}$$

Это можно как-нибудь проверить? Судя по условию трапеция не обязательно равнобокая.

[Pphantom]

Постройте рисунок, достроив трапецию до треугольника. По идее, дальше станет очевидно.

[kthxbye]

Там некоторый ступор с выражением суммы сторон (всех, кроме $b$) меньшего треугольника через известное.

[Pphantom]

А она разве нужна?

[kthxbye]

Pphantom в сообщении #1520002 писал(а):

А она разве нужна?

В статье есть красивая формула (5), где у нас сразу котангенс половинного угла (как иначе его туда влепить не представляю).

[Pphantom]

Ну... раз окружность вписана в трапецию, стало быть, она вписана и в этот треугольник тоже. Центр вписанной окружности - это центр пересечения биссектрис треугольника, причем он делит биссектрису в определенном отношении. Высоту треугольника очень легко найти.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1520010 писал(а):

это центр пересечения биссектрис треугольника, причем он делит биссектрису в определенном отношении

Хм, не знал. А в каком?

Я бы здесь площадь треугольника считал (двумя способами). Это дало бы систему уравнений на на неизвестные углы треугольника при основании $a$. Найдя их (т.е. как-то решив систему), потом можно было бы найти и угол при вершине. Однако система выглядит довольно громоздко (в ней есть и синусы, и косинусы неизвестных углов).

-- Вт май 25, 2021 21:22:22 --

Pphantom в сообщении #1520010 писал(а):

Высоту треугольника очень легко найти.

Это да, а затем и площадь.

[Pphantom]

nnosipov в сообщении #1520012 писал(а):

Хм, не знал. А в каком?

Сумма сторон, обращующих соответствующий угол, к третьей стороне.

[kthxbye]

Все гениальное просто. Вышеуказанная сумма двух сторон меньшего треугольника находится следующим образом:

$$\frac{c+c'+d+d'}{h+2r}=\frac{c'+d'}{h}$$

отсюда

$$c'+d'=(c+d)\frac{h}{2r}$$

по теореме Пифагора

$$c+d=a+b$$

далее

$$\frac{h+2r}{a}=\frac{h}{b}, h=\frac{2br}{a-b}$$

тогда искомое

$$c'+d'=b\frac{a+b}{a-b}$$

при этом

$$S=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\frac{2b^2r}{a-b}=\frac{b^2r}{a-b}$$

теперь используем (5) из статьи

$$b^2=(c'+d')^2-4S\ctg\frac{A}{2}$$

подставляем $c'+d'$ и $S$, получаем результат.

[kthxbye]

Кто-нибудь может указать на ошибки?

[lel0lel]

Решал так: 1) из подобия находим высоту 2) находим площадь большого треугольника 3) с помощью формулы $Pr=2S$ находим периметр большого треугольника 4) Периметр малого треугольника равен $P-a-(a+b)+b=P-2a$, здесь учли, что сумма боковых сторон вписанной трапеции равна сумме оснований 5) замечаем, что периметр малого треугольника равен сумме двух равных касательных отрезков, проведенных из вершины. Стало быть из прямоугольного треугольника с биссектрисой в качестве гипотенузы получим $\tg{\alpha/2}=\frac{2r}{P-2a}$

[Pphantom]

Да, вроде все правильно, у меня примерно так же получалось.

[lel0lel]

lel0lel в сообщении #1520059 писал(а):

сумма боковых сторон вписанной трапеции равна сумме оснований

Здесь речь, конечно, про описанную трапецию.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Обозначения:
Точки касания разбивают боковые стороны на $a_1+b_1$ и $a_2+b_2$, где $a_1+a_2=a, \;\; b_1+b_2=b$.
Стороны треугольника, образованного продоложением боковых сторон равны $b, l_1, l_2$.

Решение:
Для удвоенного котангенса половинки искомого угла имеем

$$2\ctg(A/2)=\dfrac{l_1+b_1}{r}+\dfrac{l_2+b_2}{r}=\dfrac{(l_1+l_2)+b}{r}$$

Сумму $(l_1+l_2)$ находим из подобия

$$\dfrac{(l_1+l_2)}{b}=\dfrac{(l_1+l_2)+a+b}{a}$$

[TOTAL]

Отломим (легче, чем строить) параллелограмм, оставив треугольник с суммой боковых сторон $a+b$, основанием $a-b$, радиусом вписанной окружности $r(a-b)/a$. Так что

$$\ctg\frac{A}{2}=\frac{b}{r(a-b)/a}$$