Вычеркивание цифр, найти заданное число

[prrrr]

Здравствуйте!

Задача: В $8$-ми значном числе есть не менее одной $3$, $5$ и $7$. При вычеркивании всех $3$ оставшееся число делится на $13$. При вычеркивании всех $5$, оставшееся число делится на $11$. При вычеркивании всех $7$, оставшееся число делится на $7$. Нужно найти заданное число.

Остановился на том, что, как я полагаю заданное число должно делится на $3\cdot5\cdot7$. Дальше никак не могу продвинуться, в голову приходит только перебор.. Подскажите пожалуйста, в какую сторону можно дальше подумать? Спасибо!

[svv]

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

При вычеркивании всех $3$, оставшееся число делится на $13$.

Это понятно.

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

При вычеркивании всех $5$, оставшееся число делится на $11$.

А это — не очень. Тут надо уточнить, пятёрки вычёркиваются из исходного числа, или из полученного вычёркиванием троек.

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

При вычеркивании всех $7$, оставшееся число делится на $7$. При вычеркивании всех $5$, оставшееся число делится на $11$.

Аналогично.

[svv]

Прорва решений при любой трактовке условия. Отгадать задуманное число не получится.

[prrrr]

svv в сообщении #1519835 писал(а):

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

При вычеркивании всех $3$, оставшееся число делится на $13$.

Это понятно.

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

При вычеркивании всех $5$, оставшееся число делится на $11$.

А это — не очень. Тут надо уточнить, пятёрки вычёркиваются из исходного числа, или из полученного вычёркиванием троек.

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

При вычеркивании всех $7$, оставшееся число делится на $7$. При вычеркивании всех $5$, оставшееся число делится на $11$.

Аналогично.

Все цифры вычеркиваются из исходного числа, каждый раз заново. Например сначала из исходного вычеркиваются все $3$, оставшееся число делится на $13$. Если из исходного вычеркнуть все $5$, то оно делится на 11 и т.д.

[svv]

Хорошо, я рассматривал оба варианта. И в любом случае решений очень много. Например, только среди $n\in[10000000,11000000]$ я нашёл 84 решения.

-- Пн май 24, 2021 21:10:00 --

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

я полагаю заданное число должно делится на $3\cdot5\cdot7$

Среди решений есть даже простые числа.

[legacy_tns]

Возможно число должно состоять только из 3 5 7.

533533 \ 7
733733 \ 11
5577 \13

355355 \7
755755 \13
3377 \11

377377 \11
577577 \13
3535 \7

Вариантов три но верный только один.

[svv]

legacy_tns, Ваша мысль интересная, но даже с таким сильным ограничением получается куча вариантов, см. оффтоп.

(Оффтоп)

33533577
33753777
33757737
35335377
35335773
35357357
35377577
35537557
35773577
37557355
37573757
37753775
37757735
53353377
53353773
53357337
53357733
53537537
53755735
55375573
55735537
57355375
57375757
73353777
73357737
73537757
73553755
73577357
73757375
73777757
75377557
75573553
75773557
77353775
77357735
77737757
77753755
77777357

Самое красивое решение — это, пожалуй, 77777357.

[Gagarin1968]

svv в сообщении #1519886 писал(а):

Например, только среди $n\in[10000000,11000000]$ я нашёл 84 решения

Я прогнал чуток подальше, и от $10$ миллионов до $20 $ миллионов вышло $902$ решения.
Интересно, откуда такая задача?

[Gagarin1968]

Тут вот ещё над чем можно подумать. Какое минимальное число может получиться после вычёркивания одной цифры? Это, очевидно, двузначное число, содержащее обе оставшиеся цифры (если, конечно, оно удовлетворяет условиям задачи). Такое число существует, это $35$.
Теперь подсчитаем, сколько существует способов образовать $8$-значное число, вставляя в число $35$ вычеркнутые шесть семёрок. Таких композиций $\displaystyle C_{6+3-1}^{3-1}=\sum \limits _{i=1}^7 i=28$.

А дальше топикстартер может сам проверить эти $28$ $~~~$ $8$-значных чисел на выполнение двух оставшихся условий и убедиться, насколько трудоёмка исходная задача.

[prrrr]

Спасибо всем огромное за идеи!
Да, я тоже пока не понимаю как это можно решить аналитически. Только подбором.. Число явно не одно и алгоритм поиска вообще не понятен.
Задача из индивидуального практикума, пробую пока решать дальше.

[wrest]

А почему все примеры состоят только из 3, 5 и 7? Других цифр быть не может там?

[Gagarin1968]

wrest в сообщении #1519966 писал(а):

А почему все примеры состоят только из 3, 5 и 7? Других цифр быть не может там?

Разумеется, может быть. Но, как говорится, let's take for simplicity.
И даже в таком упрощённом варианте видно, что задача весьма трудоёмка.

[TOTAL]

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

Нужно найти заданное число.

А если это заменить на "Нужно найти такое число."
И безо всяких компьютерных прогонов.

[prrrr]

TOTAL в сообщении #1519986 писал(а):

prrrr в сообщении #1519833 писал(а):

Нужно найти заданное число.

А если это заменить на "Нужно найти такое число."
И безо всяких компьютерных прогонов.

Да, Вы правы. Получается, что т.к. возможных чисел может быть много, то такая формулировка будет более корректной.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1519979 писал(а):

Разумеется, может быть. Но, как говорится, let's take for simplicity.

А, ну тогда всего таких чисел 14470, первое 10035277 последнее 99978345
Простых тоже немало: всего простых 696, первое простое 10254793, последнее простое 99675683