мультипликативность знакопеременной суммы НОД

[maxal]

Для положительных целых чисел $n$, положим

$$f(n) = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\gcd(k,2n).$$

Докажите, что функция $f(n)$ мультипликативна.

[nnosipov]

Если ограничиться только нечетными значениями $n$, то более-менее ясно: с помощью функций Рамануджана можно найти подходящее выражение для $f(n)$. А именно,

$$f(n)=\sum_{k=1}^n\gcd{(k,n)}=n\sum_{d \mid n}\frac{\varphi(d)}{d}.$$

[maxal]

nnosipov, та же самая идея работает и для чётных $n$ - нужно разбить сумму на четные и нечётные делители, а потом скомпоновать их.

[nnosipov]

maxal
Да, это я как-то странно рассуждал. То есть, я сначала получил сумму со значениями функции Эйлера (для нечетных $n$), а потом понял, что эту сумму я уже где-то видел, и написал сумму с НОД-ми (хотя ее-то естественней было бы написать с самого начала).

[nnosipov]

maxal в сообщении #1519311 писал(а):

та же самая идея работает и для чётных $n$

Для четных $n$ должно быть

$$f(n)=4\sum_{k=1}^{n/2}\gcd{(k,n/2)}.$$

Верно ли, что это можно вывести прямо из определения функции $f(n)$ (как знакопеременной суммы, см. стартовый пост)? Или это не совсем очевидно?

В любом случае мне оказалось проще написать явную формулу для $f(n)$ в терминах канонического разложения числа $n$. А именно, если

$$n=2^\alpha\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i},$$

где $\alpha \geqslant 0$ и все $p_i$ суть нечетные простые числа, то

$$f(n)=n(\alpha+1)\prod_{i=1}^s\left(1+\alpha_i\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\right).$$

Тогда утверждение о мультипликативности очевидно.