Об одной гипотезе

[vicvolf]

Гипотеза. При $p_r \geq 3$ на интервале $(p^2_r,p_rp_{r+1})$, где $p_r$ -$r$ -ое простое число, обязательно находятся простые близнецы.

Справедлива ли данная гипотеза? Большая просьба к Dmitriy40 при возможности проверить гипотезу на некотором объеме данных.

Интервал $(p^2_r,p_rp_{r+1})$ является подинтервалом интервала ПСВpr# - $(1,p^2_{r+1})$, так как $p_rp_{r+1}<p^2_{r+1}$. Поэтому на данном интервале находятся только простые числа.

Обозначим минимальное простое число на данном интервале $p_{min}$, а максимальное - $p_{max}$. Понятно, что $p_{min} \geq p^2_r+2$, а $p_{max} \leq p_rp_{r+1}-2$. Поэтому для максимально возможного расстояния между простыми числами на данном интервале выполняется: $L \leq p_r(p_{r+1}-p_r)-4$.(1)

Если $p_r,p_{r+1}$ - простые близнецы, то на основании (1) получаем: $L \leq 2p_r-4$.(2)

Равенство в (2) получается при $p_r=3$. В этом случае на интервале $(9,15)$ значения $p_{min}=11,p_{max}=13$ и значение $L$, определяемое по (2), будет $L=2=2 \cdot 3-4=2$ и простые числа $11,13$ являются близнецами.

В остальных случаях в (1) и (2) получается строгое неравенство. Например, при $p_r=5$ на интервале $(25,35)$ значения $p_{min}=29,p_{max}=31$ и значение $L$, определяемое по (2), будет $L=2<2 \cdot 5-4=6$ и простые числа $29,31$ являются близнецами. Другой пример. $p_r=7$ на интервале $(49,77)$ значения $p_{min}=53,p_{max}=73$ и значение $L$, определяемое по (1), будет $L=20<7 \cdot (11-7)-4=24$. На данном интервале простые близнецы: $59,61$ и $71,73$.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1519272 писал(а):

Гипотеза. При $p_r \geq 3$ на интервале $(p^2_r,p_rp_{r+1})$, где $p_r$ -$r$ -ое простое число, обязательно находятся простые близнецы.

Справедлива ли данная гипотеза? Большая просьба к Dmitriy40 при возможности проверить гипотезу на некотором объеме данных.

Вполне справедлива, для $p_r<10^7$ (дальше ждать поленился) контрпримера не обнаружено.

Причём близнецов настолько много, что с увеличением $p_r$ первый из близнецов встречается всё ближе и ближе к $p_r^2$.

Правда случаются и сильные "выбросы", когда в начале интервала близнецов нет. Например последним числом, после квадрата которого пришлось проверить более 10% интервала до нахождения наименьшего близнеца является $p_r=6197, p_{r+1}=6199, p_2=38404607=14.507020\%$, вокруг же него достаточно проверять менее 1...3% интервала (причём менее одного процента в 90% случаев). Последним выбросом более 1% интервала стало $p_r=221171, p_{r+1}=221173, p_2=48916616171=1.114522\%$, вокруг которого в 80% случаев достаточно и 0.01% интервала для нахождения близнеца. При том что порог в 2% перестал преодолеваться уже после $p_r=43787$. Порог в 0.1% перестал преодолеваться после $p_r=2803937$.
Практически всегда выбросы происходят на паре простых близнецов $p_r,p_{r+1}$ (очевидно это из-за резкого уменьшения длины интервала для таких $p_r$ и соответственно возрастания доли интервала до первого близнеца), но бывают и исключения, но они именно что исключения, их на глаз менее процента.

Можно и по другому посчитать частоту, как отношение величины первого в интервале простого близнеца $p_2$ к $p_r^2$, оно с увеличением $p_r$ стремится к $1.0$ сверху, и тоже достаточно быстро, например ниже $1.001$ уходит уже после $p_r=487$, а ниже $1.000001$ уже после $p_r=44887$, ниже $1.0000001$ уже после $p_r=221171$, ниже $1.0000000001$ уже после $p_r=8314679$. Разумеется стремление не монотонно, колебания превышения над $1$ я бы оценил где-то в два порядка, например близко есть такие величины:
$p_r=998651, p_{r+1}=998653, p_2=997303819817=1.000000000016 p_r^2$
$p_r=998831, p_{r+1}=998839, p_2=997663368677=1.000000002121 p_r^2$


То есть близнецов много и при желании можно накладывать гораздо более сильные ограничения для достаточно больших простых.

Disclaimer: Всё выше ни в каком виде не является доказательством гипотезы!

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1519285 писал(а):

vicvolf в сообщении #1519272 писал(а):

Гипотеза. При $p_r \geq 3$ на интервале $(p^2_r,p_rp_{r+1})$, где $p_r$ -$r$ -ое простое число, обязательно находятся простые близнецы.

Справедлива ли данная гипотеза? Большая просьба к Dmitriy40 при возможности проверить гипотезу на некотором объеме данных.

Вполне справедлива, для $p_r<10^7$ (дальше ждать поленился) контрпримера не обнаружено.

Большое спасибо!

Цитата:

Причём близнецов настолько много, что с увеличением $p_r$ первый из близнецов встречается всё ближе и ближе к $p_r^2$.

Да, проблема существования близнецов возникает не при больших, а при малых $p_r$. При $p_r=2$ на интервале $(4,6)$ только одно простое число 5. Они появляются только при $p_r=3$.

Цитата:

Правда случаются и сильные "выбросы", когда в начале интервала близнецов нет. Например последним числом, после квадрата которого пришлось проверить более 10% интервала до нахождения наименьшего близнеца является $p_r=6197, p_{r+1}=6199, p_2=38404607=14.507020\%$, вокруг же него достаточно проверять менее 1...3% интервала (причём менее одного процента в 90% случаев). Последним выбросом более 1% интервала стало $p_r=221171, p_{r+1}=221173, p_2=48916616171=1.114522\%$, вокруг которого в 80% случаев достаточно и 0.01% интервала для нахождения близнеца. При том что порог в 2% перестал преодолеваться уже после $p_r=43787$. Порог в 0.1% перестал преодолеваться после $p_r=2803937$.
Практически всегда выбросы происходят на паре простых близнецов $p_r,p_{r+1}$ (очевидно это из-за резкого уменьшения длины интервала для таких $p_r$ и соответственно возрастания доли интервала до первого близнеца)

Да, интервал резко убывает при простых близнецах. Помните, длина интервала в этом случае минимальна - $2p_r$. По гипотезе Лежандра, там должно быть хотя бы одно простое число. Оказывается при $p_r \geq 3$ там умещаются уже не менее двух простых чисел и проще это сделать конечно близнецам.

Цитата:

Disclaimer: Всё выше ни в каком виде не является доказательством гипотезы!

Конечно.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1519387 писал(а):

Оказывается при $p_r \geq 3$ там умещаются уже не менее двух простых чисел и проще это сделать конечно близнецам.

Дело в другом, я просто неаккуратно выбрал параметры статистики, не ту вероятность стал считать, она априори даёт выбросы для близнецов $p_r,p_{r+1}$. Второй вариант, с отношением к $p_r^2$, более адекватен. Ещё можно сравнить с величиной первого простого в интервале, но думаю тут уже это легко оценить просто по плотности распределения (простых и близнецов) и не пересчитывать.

vicvolf в сообщении #1519387 писал(а):

Да, проблема существования близнецов возникает не при больших, а при малых $p_r$.

Вообще не вижу в этом проблемы, сразу по нескольким причинам:
* первые простые легко проверить и руками;
* в начале числового ряда вполне могут быть самые разные артефакты;
* для доказательств бесконечности важно поведение на бесконечности, а не в начале, начало любой конечной длины всегда можно отрезать и формулировать гипотезы лишь для достаточно больших простых.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1519395 писал(а):

. Ещё можно сравнить с величиной первого простого в интервале, но думаю тут уже это легко оценить просто по плотности распределения (простых и близнецов) и не пересчитывать.

А не надо считать. Верхнюю оценку асимптотики количества простых близнецов можно сделать по нер-ву Бруно $\pi_2(x)<cx/\ln^2x$. В то время, как длина интервала $(p^2_r,p_rp_{r+1})$ растет, как $x$, где $x=2p_r$ в критичном случае, когда $p_r,p_{r+1}$ - простые близнецы.