2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти индуцированный заряд
Сообщение14.05.2021, 09:40 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Между двумя параллельными бесконечными проводящими плоскостями, находящимися на расстоянии $a$ Поместили точечный заряд $q$ на расстоянии $b$ от одной из плоскостей.
Найти заряд, индуцированный на каждой .

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение15.05.2021, 19:09 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Пояснение для продвинутых математиков. В этой задаче не надо интегрировать знакопеременные ряды. Не надо считать распределение поверхностных зарядов. Это тупиковый путь. Надо использовать определённую симметрию и принцип суперпозиции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение16.05.2021, 09:45 


21/07/20
157
Задача из известного задачника И.Е.Иродова (раздел "Проводники и диэлектрики в электрическом поле") .
К этой задаче автор приводит не только ответ, но и Указание:
"Если заряд q мысленно "размазать" по плоскости, проходящей через этот заряд и параллельной проводящим плоскостям, то заряды на плоскостях не изменятся. Изменится только их распределение, и электрическое поле станет простым для расчета."
Вы такое решение имеете в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение16.05.2021, 10:58 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Мне кажется, имеется в виду решение о котором мы вскользь говорили в теме «Заряд вблизи плоского конденсатора».
Идея с размазыванием красивая, однако.
Есть еще вариант - посмотреть на ситуацию из удаленной (асимптотически на бесконечность) пары точек на плоскостях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение16.05.2021, 17:37 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ignatovich
Ну да. Именно это я и имел ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение16.05.2021, 21:44 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
AnatolyBa
ваш подход тоже даёт красивое и просто решение.
Причём неважно какую асимптоту вычислять, поперёк или вдоль
просто приравниваем нулю первый и второй к-ты в разложения потенциала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение17.05.2021, 21:16 


21/07/20
157
По мотивам обсуждаемой задачи можно сформулировать и такую:

Конденсатор емкостью С тонкими проводами подключен к источнику c ЭДС $\varepsilon$ .
Определите заряд конденсатора, если в точку его поля с потенциалом $\varphi$ помещают точечный заряд q. Обкладки конденсатора не обязательно плоские, имеют одинаковую форму и размеры.

Ответ получил, хотелось бы проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение18.05.2021, 05:01 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
А что, суперпозиция тут не работает?
Типа определяем заряд конденсатора без точечного заряда.
Вычисляем точку с заданным потенциалом. Помещаем туда точечный заряд, размазываем как в первой задаче. Voilà.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение18.05.2021, 15:10 


21/07/20
157
fred1996 в сообщении #1519007 писал(а):
Помещаем туда точечный заряд, размазываем как в первой задаче.

Не получится, если конденсатор не является плоским.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение18.05.2021, 17:02 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Думаете можно делать конформное преобразование? Например в сферический конденсатор, для которого методом изображений результат получается просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение18.05.2021, 21:23 


21/07/20
157
fred1996
Воспользовался симметрией потенциальных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение18.05.2021, 23:02 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
А, до этого я только что допер.
Так все-таки можно заряд размазывать по эквипотенциальной поверхности $\varphi$.
Чёт не могу сообразить
Ну то есть заменить эту поверхность проводником и поместить на неё заряд $q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение19.05.2021, 06:10 


21/07/20
157
fred1996
Обсуждая вашу исходную задачу AnatolyBa, отметил три возможных решения: 1) основанное на симметрии потенциальных коэффициентов (метод кратко обсуждался недавно в другой теме), 2) основанное на "размазывании" точечного заряда (на мой взгляд, не очевидное допущение), 3) предполагающее модельную локализации индуцированного заряда.
В развитие первого способа я и предложил задачу о конденсаторе произвольной формы. В конце рабочего дня, если потребуется, напишу решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение19.05.2021, 12:47 


21/07/20
157
Ignatovich в сообщении #1518972 писал(а):
Конденсатор емкостью С тонкими проводами подключен к источнику c ЭДС $\varepsilon$ .
Определите заряд конденсатора, если в точку его поля с потенциалом $\varphi$ помещают точечный заряд q. Обкладки конденсатора не обязательно плоские, имеют одинаковую форму и размеры.

Решал так. Точечный заряд заменим маленьким проводящим шариком заряда q. Обозначим Q - заряд положительной обкладки. Тогда ее потенциал:
$\varphi_1=QV_{11}+qV_{13}-QV_{12}$,
где индексы потенциальных коэффициентов относятся к положительной обкладке (1), отрицательной (2) и к точечному заряду (3).
Потенциал отрицательной обкладки:
$\varphi_2=QV_{21}+qV_{23}-QV_{22}$.
Учтем источник:
$\varphi_1=\varphi_2+\varepsilon$.
До внесения точечного заряда (заряд проводящего шарика равен нулю) потенциал положительной обкладки $\varepsilon/2$, ее заряд $Q_0=C\varepsilon$ и
$\varepsilon/2=Q_0(V_{11}-V_{12})$.
Потенциал незаряженного шарика (точки, в которую будет помещен точечный заряд)
$\varphi=Q_0(V_{31}-V_{32})$
Учтем симметрию потенциальных коэффициентов $V_{ij}=V_{ji}$, поскольку обкладки одинаковые, то $V_{11}=V_{22}$
Получаем ответ:
$Q=C\varepsilon-q\frac{\varphi}{\varepsilon}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти индуцированный заряд
Сообщение19.05.2021, 19:24 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ignatovich
Ага, я упустил из виду, что обкладки одинаковой формы. Думал произвольной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group